Вопрос 5. Нормальный и экспоненциальный законы распределения неперывных случайных величин.

Нормальный закон распределения (НРЗ) = Закон Гусса - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Она колоколообразная ("колокол Гаусса").

2. Плотность определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (µ) и средним квадратическим отклонением (σ).

3. Кривая сдвигается вправо, если среднее увеличивается при постоянном квадратическом отклонении, и сдвигается влево, если среднее уменьшается.

4. Кривая расширяется, если среднее квадратическое отклонение σ увеличивается (если среднее постоянно).

5. Кривая становится более остроконечной с меньшей шириной основания колокола, если σ уменьшается при среднем постоянном (площадь под графиком всегда равна 1) (рис.в).

Рис. Кривая нормального закона распределения и ее изменение при изменении параметров

Дополнительные свойства:

«Правило трех сигм»

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X  находится между (µ-σ) и (µ+σ), равна 0,68, т.е. 68% случайной величины X отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ±σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-2σ) и (µ+2σ), равна 0,95, т.е. примерно 95% случайной величины X отличается от среднего на два стандартных отклонения ±2σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-3σ) и (µ+3σ), равна 0,99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм

Экспоненциальный закон распределения.

Экспоненциальное (показательное) распределение - это распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной функцией.

Экспоненциальное распределение определяется одним параметром

Вопрос 6 Функция распределения. Плотность вероятности. Стандартные интервалы.

Функция распределения = интегральная функция распределения – это вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше некоторого наперед заданного числа х- малое:

Свойства:

1. 

2. 

Для дискретных случайных величин а)

Для непрерывных случайных величин б)

а) б)

Плотность распределения вероятностей, или плотность распределения непрерывной случайной величины Х= дифференциальная функция распределения- производная ее функции распределения.

Свойства плотности вероятности:

1. Неотрицательная функция

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b.

Стандартные интервалы???

Вопрос 7. Генеральная совокупность и выборка. Объем выборки. Репрезентативность.

Генеральная совокупность - это множество всех мыслимых значений наблюдений, однородных относительно некоторого признака, которые могли быть сделаны.

Объем генеральной совокупности N.

Выборка – совокупность случайно отобранных наблюдений для непосредственного изучения из генеральной совокупности.

Выборка характеризуется:

– варианта- каждый элемент выборки.

- частота встречаемости- число наблюдений варианты.

Объем выборки - это количественная характеристика выборки. Это количество вариант в выборке. Это число случаев, включенных в выборочную совокупность.

Репрезентативность (фр. Representative - представляющий) - это соответствие характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности.

Репрезентативность- это свойство выборки представлять параметры генеральной совокупности.