Глава 3. Линейные операторы и квадратичные формы.

Определение линейности L(ax+by)=aL(x)+bL(y).

Свойство L(0)=0 (доказать)

Построение матрицы оператора по общему виду функции.

Тождественный, обратимый, обратный оператор, примеры: проекция, поворот.

Собственный вектор: .

Теорема 1. Лин. комбинация соб. векторов, соотв одному и тому же числу, тоже соб. вектор.

Теорема 2. Соб.векторы, соотв. разным числам, ЛНС

Теорема 3. О соб. векторах обратного оператора.

Характеристическое уравнение:

Теорема 4. О связи соб. чисел и корней характеристического уравнения.

Пример поиска собственных чисел и векторов: .

Лекция 13.10.2014

Теорема 5. (док) Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора диагональна.

Теорема 6. (док) (Ax,y) = (x,Ay) тогда и только тогда, когда матрица симметрична.

Теорема 7. (док) Собственные векторы оператора с симметричной матрицей ортогональны.

Билинейная форма, задание с помощью матрицы. Скалярное произведение соотв. Е.

Квадратичные формы. Приведение к главным осям.

1) Всегда можно задать симм. матрицей (доказать)

2) Всегда можно привести к виду, не содержащему попарные произведения, а содержащему лишь квадраты

(к главным осям).

Пример. . Матрица . Соб.числа 1 и 5. Векторы (1,-1) и (1,1), нормировать их, построить формулы перехода к новому базису, привести в итоге к .

Лекция 20.10.2014

Глава 4. Аналитическая геометрия.

§1. Прямая на плоскости.

Уравнение прямой:

п.1. Вывод уравнения прямой по точке и перпендикуляру + пример

п.2. Вывод уравнения прямой по точке и направляющему вектору + пример

+ построение по двум точкам.

п.3. Расстояние от точки до прямой (доказать)

п.4. Взаимное расположение прямых в плоскости в зависимости от коэффициентов.

§2. Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости:

п.1. Вывод уравнения плоскости по точке и перпендикуляру.

п.2. Вывод уравнения плоскости по точке и 2 направляющим

Пример. Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3)

Решение: ответ

+ метод построения по трём точкам (направляющие от 1 ко 2 и от 1 к 3-й).

п.3. Расстояние от точки до плоскости:

п.4. Взаимное расположение плоскостей

п.5. Угол между плоскостями и метод его нахождения.

§3. Прямая в пространстве.

Канонические, параметрические уравнения.

п.1. По точке и направляющему или по двум точкам.

п.2. По точке и 2 перпендикулярам

п.3. Расстояние от точки до прямой в пространстве .

Лекция 27.10.2014

п.5. Расстояние между скрещивающимися прямыми

п.6. Угол между прямой и плоскостью.

§4. Кривые и поверхности.

Вырожденные случаи. точка ось

две оси две параллельные прямые пустое множество

Определение эллипса, гиперболы как геометрического места точек, и их канонические уравнения ,

Опр. параболы как мн-ва точек, равноудалённых от прямой и точки, вывод её уравнения.

* Свойство эллипса и параболы, связанное с фокусировкой лучей.

* Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса.

* Квадратичная форма в уравнении кривой 2 порядка ,

- эллипс, - гипербола, - парабола.

Поверхности: 1) вращения 2) цилиндрическая 3) коническая

Док-во свойства однородности функции в уравнении конической поверхности.

Поверхности 2-го порядка: эллипсоид

однополостный и двуполостный гипердобоид , ,

эллиптический и гиперболический параболоид ,

и чертежи этих поверхностей.