Вопросы для размышления

1. Какие существуют основные формы мышления?

2. В чем состоит разница между содержанием и объёмом понятия?

3. Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?

4. Что такое высказывание?

Раздать карточки (4 человека). Все отвечают на вопросы, а 4 человека отвечают по карточкам. (потом проверить)

5. Как определить истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?

Чтобы определить истинность или ложность составного высказывания нам поможет алгебра высказываний.

 В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Рассмотрим два простых высказывания:

А = “Два умножить на два равно четырем”. В — “Два умножить на два равно пяти”.

Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному — значение 0. В нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В = 0).

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истина” (1) и “ложь” (0).

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”.

Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза “и” называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:

(1) «2 х 2 = 5 и 3 х 3 = 10»; ложно

(2) «2 х 2 = 5 и 3 х 3 = 9»; ложно

(3) «2 х 2 = 4 и 3 х 3 = 10»; ложно

(4) «2 х 2 = 4 и 3 х 3 = 9». истинно

Перейдем теперь от записи высказываний на естествен­ном языке к их записи на формальном языке алгебры вы­сказываний (алгебры логики). В ней операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать значком «&» либо «/\». Образуем составное высказывание Р, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:

F = А & В

С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные А и В, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).

Сама функция логического умножения F также может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов:

Таблица истинности функции логического умножения

А	В	F = А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

По таблице истинности легко определить истинность со­ставного высказывания, образованного с помощью операции логического умножения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2 = 4 и 3*3 = 10». Первое простое выска­зывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение ложь (F= 0), то есть данное составное высказывание ложно.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического сложения, ложно только первое, так как в последних трех состав­ных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний истинно:

1. «2 • 2 = 5 или 3 • 3 = 10»,

2. «2 • 2 = 5 или 3-3 = 9»,

3. «2 • 2 = 4 или 3 • 3 = 10», 

4. «2 • 2 = 4 или 3-3 = 9».

Запишем теперь операцию логического сложения на формальном языке алгебры логики. Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «V», либо знаком сложения «+». Образуем составное высказывание F, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний: 

F = А V В

С точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического сложения, аргументами которой являются логические переменные А и В. Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов:

Таблица истинности функции логического сложения:

А	В	F = А V В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

 

 

Рассмотрим, например, составное высказывание «2*2 = 4 или 3*3 =10». Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0), по таблице определяем, что логическая функция принимает значение истина (F = 1), то есть данное составное высказывание истинно.

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы “не” к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным.

Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» — истинное высказывание, тогда высказывание F = «Два умно­жить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания, — ложно.

Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А в алгебре логики принято обозна­чать А. Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием А:  

F = Ā = ¬А.

Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания:

Таблица истинности функции логического отрицания

А	F = ¬А
0	1
1	0

 

Например, высказывание «Два умножить на два не равно четырем» ложно (А = 0), а полученное из него в результате логического отрицания высказывание «Два умножить на два равно четырем» истинно (F = 1).