Основы кинематики и динамики жидкости и газа

§1. Кинематика жидкости и газа

Кинематика одного и того же потока может изучаться как методом Эйлера, так и методом Лагранжа. Координаты Эйлера и Лагранжа связаны друг с другом. В большинстве случаев используют метод Эйлера.

Все случаи течения жидкости или газа можно разделить на две группы: неустановившееся и установившееся движение.

Неустановившиеся течения описываются системой уравнений:

(1)

Они характерны тем, что в любой точке параметры, характеризующие поток, являются функцией не только координат, но и времени.

Движение жидкости или газа будет установившимся, если характеризующие его параметры не зависят от времени. Установившееся течение может быть равномерным и неравномерным.

При равномерном движении жидкости или газа скорости течения в сходственных точках постоянны независимо от координат этих точек. Примером такого движения может служить течение несжимаемой жидкости с постоянным расходом в трубе постоянного сечения.

При неравномерном течении жидкости скорости ее движения остаются независящими от времени, но являются функцией координат. Примером может служить движение жидкости в трубе переменного сечения. В зависимости от площади сечения скорость течения жидкости вдоль трубы будет изменяться, но она будет сохранять свое значение вне зависимости от времени.

Линией тока называют кривую, проведенную внутри потока во всех своих точках касательную к скорости течения жидкости (рис. 2). Если движение неустановившееся, то в заданной точке в потоке направление скорости изменяется во времени (рис.3). Следовательно, с течением времени изменяются и проходящие через данную точку линии тока. При установившемся течении в каждой данной точке устанавливается скорость, величина и направление которой не зависят от времени, поэтому линия тока и траектория элементарно малой жидкой частицы совпадают.

В точке внутри потока с координатами составляющие скорости вдоль осей координат будут . При перемещении вдоль линии тока на расстояние в точку с координатами , получим:

(3)

Это равенство представляет собой уравнение линии тока. При известных составляющих скорости можно получить уравнение линий тока для конкретного течения. В качестве примера рассмотрим течение, когда составляющие скорости потока будут и . Уравнение линий тока в этом случае

или

следовательно, т.е. линии тока – гиперболы (рис.4).

Полученное семейство линий тока принадлежит потоку, обтекающему вертикальную стенку.

В потоке жидкости проведем замкнутый контур, ограничивающий поверхность элементарно малой площади. Через каждую точку контура может быть проведена линия тока (рис.5).

Поверхность, образованная этими линиями тока, называется трубкой тока. Скорости жидкости касательны к поверхности трубки тока, поэтому между жидкостью, движущейся в трубке тока, и остальным потоком нет обмена массами жидкости. Масса жидкости, текущей внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Совокупность элементарных струек образует поток жидкости или газа.

Проведем в трубке тока сечение, площадь которого равна , нормально к направлению скорости . Такая поверхность называется живым сечением струйки. Произведение площади живого сечения и скорости называется элементарным расходом жидкости или газа:

(4)

Это произведение представляет собой объем жидкости, проходящей в единицу времени через сечение . Элементарный расход измеряется в м³/с. Масса жидкости, проходящая через сечение струйки в единицу времени,

,

где плотность жидкости или газа, текущих в трубке тока.

Если провести сечение в потоке таким образом, чтобы его поверхность в любой точке была нормальна к направлению соответствующего вектора скорости (рис. 6), то площадь этой поверхности будет равна сумме живых сечений струек:

.

Такая поверхность называется живым сечением потока.

Смоченный периметр та часть периметра, вдоль которой жидкость соприкасается с твердыми стенками канала (трубы). Гидравлическим радиусом называют отношение площади живого сечения к смоченному периметру.

Расход жидкости равен сумме расходов каждой струйки:

(5)

Массовый расход жидкости равен сумме массовых расходов каждой струйки:

= . (6)

Средняя скорость потока жидкости – отношение расхода к площади живого сечения потока, т.е.

. (7)