Одноканальная смо с ожиданием и ограниченной очередью

     Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.      Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.      Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.      Обозначим   - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:            Здесь   - приведенная интенсивность потока.  Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:  .      С учетом этого можно обозначить            Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):      вероятность отказа в обслуживании заявки:      P_отк=Р_N=      относительная пропускная способность системы:            абсолютная пропускная способность:      А=q∙λ;      среднее число находящихся в системе заявок:            среднее время пребывания заявки в системе:       ;      средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:      W_q=W_s- 1/μ;      среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):      L_q=λ(1-P_N)W_q. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью

     Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. Ν → ∞ ). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.      Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.       Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле       P_n=(1-r)rⁿ, n=0,1,2,…,      где r = λ/μ <1.      Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:      среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:            средняя продолжительность пребывания клиента в системе:       ;      среднее число клиентов в очереди на обслуживание:      L_q=L_S -   ;      средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:      W_q= ;

Многоканальная смо с отказами

     В подавляющем большинстве случаев на практике система массового обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с  обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес.      Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока  λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется   1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно  n клиентов.      Стационарное решение системы имеет вид:       ;      где       ,          .      Формулы для вычисления вероятностей    называются формулами Эрланга.      Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:      вероятность отказа:       .      так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты. Величина Р_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;      вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Р_отк до единицы:       .      абсолютная пропускная способность             среднее число каналов, занятых обслуживанием ( ) следующее:              Величина   характеризует степень загрузки СМО.