Задание 6.
Задача 10. Решить задачу 7 при условии, что требуется определить процент предприятий, выполняющих план от 105% до 120%.
Для решения задач 1-20 необходимы значения функции распределения стандартного закона, которые приводятся в следующей таблице:
x |
Ф*(х) |
x |
Ф*(х) |
x |
Ф*(х) |
0.00 |
0.5000 |
0.40 |
0.6554 |
0.80 |
0.7881 |
0.01 |
0.5040 |
0.41 |
0.6591 |
0.81 |
0.7910 |
0.02 |
0.5080 |
0.42 |
0.6628 |
0.82 |
0.7939 |
0.03 |
0.5120 |
0.43 |
0.6664 |
0.83 |
0.7967 |
0.04 |
0.5160 |
0.44 |
0.6700 |
0.84 |
0.7995 |
0.05 |
0.5199 |
0.45 |
0.6736 |
0.85 |
0.8023 |
0.06 |
0.5239 |
0.46 |
0.6772 |
0.86 |
0.8051 |
0.07 |
0.5279 |
0.47 |
0.6808 |
0.87 |
0.8078 |
0.08 |
0.5319 |
0.48 |
0.6844 |
0.88 |
0.8106 |
0.09 |
0.5359 |
0.49 |
0.6879 |
0.89 |
0.8133 |
|
|
|
|
|
|
0.10 |
0.5398 |
0.50 |
0.6915 |
0.90 |
0.8159 |
0.11 |
0.5438 |
0.51 |
0.6950 |
0.91 |
0.8186 |
0.12 |
0.5478 |
0.52 |
0.6985 |
0.92 |
0.8212 |
0.13 |
0.5517 |
0.53 |
0.7019 |
0.93 |
0.8238 |
0.14 |
0.5557 |
0.54 |
0.7054 |
0.94 |
0.8264 |
0.15 |
0.5596 |
0.55 |
0.7088 |
0.95 |
0.8289 |
0.16 |
0.5636 |
0.56 |
0.7123 |
0.96 |
0.8315 |
0.17 |
0.5675 |
0.57 |
0.7157 |
0.97 |
0.8340 |
0.18 |
0.5714 |
0.58 |
0.7190 |
0.98 |
0.8365 |
0.19 |
0.5753 |
0.59 |
0.7224 |
0.99 |
0.8389 |
|
|
|
|
|
|
0.20 |
0.5793 |
0.60 |
0.7257 |
1.00 |
0.8413 |
0.21 |
0.5832 |
0.61 |
0.7291 |
1.01 |
0.8437 |
0.22 |
0.5871 |
0.62 |
0.7324 |
1.02 |
0.8461 |
0.23 |
0.5910 |
0.63 |
0.7357 |
1.03 |
0.8485 |
0.24 |
0.5948 |
0.64 |
0.7389 |
1.04 |
0.8508 |
0.25 |
0.5987 |
0.65 |
0.7422 |
1.05 |
0.8531 |
0.26 |
0.6026 |
0.66 |
0.7454 |
1.06 |
0.8554 |
0.27 |
0.6064 |
0.67 |
0.7486 |
1.07 |
0.8577 |
0.28 |
0.6103 |
0.68 |
0.7517 |
1.08 |
0.8599 |
0.29 |
0.6141 |
0.69 |
0.7549 |
1.09 |
0.8621 |
|
|
|
|
|
|
0.30 |
0.6179 |
0.70 |
0.7580 |
|
|
0.31 |
0.6217 |
0.71 |
0.7611 |
|
|
0.32 |
0.6255 |
0.72 |
0.7642 |
|
|
0.33 |
0.6293 |
0.73 |
0.7673 |
|
|
0.34 |
0.6331 |
0.74 |
0.7703 |
|
|
0.35 |
0.6368 |
0.75 |
0.7734 |
|
|
0.36 |
0.6406 |
0.76 |
0.7764 |
|
|
0.37 |
0.6443 |
0.77 |
0.7794 |
|
|
0.38 |
0.6480 |
0.78 |
0.7823 |
|
|
0.39 |
0.6517 |
0.79 |
0.7852 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ф*(х) |
x |
Ф*(х) |
x |
Ф*(х) |
1.10 |
0.8643 |
1.50 |
0.9332 |
1.90 |
0.9713 |
1.11 |
0.8665 |
1.51 |
0.9345 |
1.91 |
0.9719 |
1.12 |
0.8686 |
1.52 |
0.9357 |
1.92 |
0.9726 |
1.13 |
0.8708 |
1.53 |
0.9370 |
1.93 |
0.9732 |
1.14 |
0.8729 |
1.54 |
0.9382 |
1.94 |
0.9738 |
1.15 |
0.8749 |
1.55 |
0.9394 |
1.95 |
0.9744 |
1.16 |
0.8770 |
1.56 |
0.9406 |
1.96 |
0.9750 |
1.17 |
0.8790 |
1.57 |
0.9418 |
1.97 |
0.9756 |
1.18 |
0.8810 |
1.58 |
0.9429 |
1.98 |
0.9761 |
1.19 |
0.8830 |
1.59 |
0.9441 |
1.99 |
0.9767 |
|
|
|
|
|
|
1.20 |
0.8849 |
1.60 |
0.9452 |
2.00 |
0.9772 |
1.21 |
0.8869 |
1.61 |
0.9463 |
2.10 |
0.9821 |
1.22 |
0.8888 |
1.62 |
0.9474 |
2.20 |
0.9861 |
1.23 |
0.8907 |
1.63 |
0.9484 |
2.30 |
0.9893 |
1.24 |
0.8925 |
1.64 |
0.9495 |
2.40 |
0.9918 |
1.25 |
0.8944 |
1.65 |
0.9505 |
2.50 |
0.9938 |
1.26 |
0.8962 |
1.66 |
0.9515 |
2.60 |
0.9953 |
1.27 |
0.8980 |
1.67 |
0.9525 |
2.70 |
0.9965 |
1.28 |
0.8997 |
1.68 |
0.9535 |
2.80 |
0.9974 |
1.29 |
0.9015 |
1.69 |
0.9545 |
2.90 |
0.9981 |
|
|
|
|
|
|
1.30 |
0.9032 |
1.70 |
0.9554 |
3.00 |
0.9986 |
1.31 |
0.9049 |
1.71 |
0.9564 |
3.10 |
0.9990 |
1.32 |
0.9066 |
1.72 |
0.9573 |
3.20 |
0.9993 |
1.33 |
0.9082 |
1.73 |
0.9582 |
3.30 |
0.9995 |
1.34 |
0.9099 |
1.74 |
0.9591 |
3.40 |
0.9997 |
1.35 |
0.9115 |
1.75 |
0.9599 |
3.50 |
0.9998 |
1.36 |
0.9131 |
1.76 |
0.9608 |
3.60 |
0.9998 |
1.37 |
0.9147 |
1.77 |
0.9616 |
3.70 |
0.9999 |
1.38 |
0.9162 |
1.78 |
0.9625 |
3.80 |
0.9999 |
1.39 |
0.9177 |
1.79 |
0.9633 |
3.90 |
1.0000 |
|
|
|
|
|
|
1.40 |
0.9192 |
1.80 |
0.9641 |
|
|
1.41 |
0.9207 |
1.81 |
0.9649 |
|
|
1.42 |
0.9222 |
1.82 |
0.9656 |
|
|
1.43 |
0.9236 |
1.83 |
0.9664 |
|
|
1.44 |
0.9251 |
1.84 |
0.9671 |
|
|
1.45 |
0.9265 |
1.85 |
0.9678 |
|
|
1.46 |
0.9279 |
1.86 |
0.9686 |
|
|
1.47 |
0.9292 |
1.87 |
0.9693 |
|
|
1.48 |
0.9306 |
1.88 |
0.9699 |
|
|
1.49 |
0.9319 |
1.89 |
0.9706 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовые задачи из задания 6 и их решение.
Пример 1. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Систематические ошибки отсутствуют. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
Решение.
Известно, что для
случайной величины Х, распределенной
по нормальному закону с параметрами а
и σ,
,
где Ф*(х)
– функция распределения стандартного
закона. В нашем случае
.
Поэтому вероятность того, что при одном
измерении ошибка не превзойдет 4мм,
будет равна
где значение Ф*(0.2)=0.5793
берется из таблицы, приведенной выше.
Таким образом, вероятность того, что в каждом из трех независимых измерений ошибка превзойдет по абсолютной величине 4 мм, будет равна
Отсюда искомая вероятность равна 1-0.5957=0.4043.
Пример 2. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами 10 (математическое ожидание) и 2 (среднее квадратическое отклонение). Найти вероятность того, что в результате испытания она примет значение из промежутка (12, 14).
Решение.
Известно,что для
случайной величины Х,
распределенной по нормальному закону
с параметрами а
и σ,
.
В нашем случае,
откуда искомая вероятность будет равна:
Пример 3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания этой случайной величины, в который она попадет с вероятностью 0.9973 в результате одного испытания.
Решение.
Обозначим через
длину искомого интервала, а через а
– математическое ожидание случайной
величины Х.
Тогда
.
Следовательно,
,
откуда
- квантиль уровня 0.9987 стандартного
закона. Воспользовавшись таблицей,
приведенной выше, получим:
.
Задание 6.
Общая формулировка задач 1-10 в буквенных обозначениях.
В страховой компании n клиентов. Страховой взнос каждого из них составил s у.е. При наступлении страхового случая, вероятность которого по оценкам экспертов равна р, страховое возмещение равно с у. е. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке.
Задача 10. |
n=5000, |
p=0.005, |
s=7, |
c=1000. |
Решение типовой задачи из задания 6.
В страховой компании 10000 клиентов. В случае наступления страхового случая страховое возмещение равно 500 у.е. Какую минимальную стоимость страхового взноса должна установить компания, чтобы вероятность того, что компания окажется в убытке к концу года, была не больше 0.0062. Вероятность наступления страхового случая, по оценкам экспертов, равна 0.006.
Решение.
Пусть случайная
величина Y
выражает число наступлений страховых
случаев в течение года. Тогда общая
сумма страхового возмещения составит
500Y
у. е. Обозначим через х
минимальную стоимость страхового взноса
каждого клиента. Тогда 10000х
– суммарный страховой взнос. Компания
будет в убытке, если величина 500Y
превзойдет 10000х.
Согласно условию, должно выполняться
неравенство
.
Отсюда имеем:
.
Но по интегральной
теореме Муавра-Лапласа
,
где р=0.006,
Ф*
– функция распределения стандартного
закона. Следовательно,
Отсюда ввиду
монотонности функции Ф*
,
где
– квантиль уровня 0.9938 стандартного
закона. По таблице определяем, что
.
Поэтому
или
,
т. е. минимальный страховой взнос должен
составить 4 у. е.