Задача 4

По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 250 человек, среднемесячная заработная плата составила 350 у.е., при 120 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью γ = 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента находим:

T_табл (n-1;α/2) = (17;0.01) = 2.583

(350 - 75.176;350 + 75.176) = (274.82;425.18)

С вероятностью 0.98 можно утверждать, что среднее значение заработной платы при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Минимальная сумма, которая должна быть на счету фирмы равна 274,82*250 = 68705 у.е.

Задача 5

С целью размещения рекламы опрошено 450 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 200 человек. С доверительной вероятностью γ = 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

Решение

Доля зрителей, которые смотрят рекламу: р = 200/450 = 4/9 = 0,444

Предельная ошибка:

Доля телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае, с доверительной вероятностью 0,91:

Доля телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае, с доверительной вероятностью 0,91 составляет от 39,9 до 48,9%.

Задача 6

Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробста не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина 15 л на 100 км, при среднестатистическом отклонении 1,5 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α = 0,05.

Решение

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента находим:

T_табл (n-1;α/2) = (10;0.025) = 2.262

(15 - 1.073;15 + 1.073) = (13.93;16.07)

С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Таким образом, можно сделать вывод о недостоверности рекламы.

Задача 7

Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α=0,05, если услугами этой фирмы пользуются 150 человек из 350 опрошенных.

Решение

Доля пользователей услугами фирмы: р=150/350 = 3/7 = 0,428

Предельная ошибка:

Доверительный интервал:

С вероятностью 0,95, услугами фирмы пользуются от 42,66 до 42,94%. Таким образом, утверждении фирмы, о том, что она контролирует 40% рынка верно.

Задача 8

Для сравнения существующего технологического процесса с новым но себестоимости продукции было изготовлено п_х = 10 изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость 18, 6. Для нового технологического процесса после изготовления п_у = 13 изделий получили 14, 7. Целесообразно ли при α = 0,05 вводить новую технологию?

Решение

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:

H₀: D_x = D_y; H₁: D_x < D_y;

Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:

7/6= 1.167

Поскольку s_y² > s_x², то s_б² = s_y², s_м² = s_x²

Числа степеней свободы:

f₁ = n_у – 1 = 13 – 1 = 12

f₂ = n_x – 1 = 10 – 1 = 9

По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим F_кр(12;9) = 3.07

Т.к. F_набл < F_кр, то есть оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет(т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:

Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:

= 9,66

Число степеней свободы f = n_х + n_у – 2 = 10 + 13 – 2 = 21

Определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента находим:

T_табл(f;α/2) = T_табл(21;0.025) = 2.08

По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 и данному числу степеней свободы находим t_кр = 2.08

Т.к. t_набл > t_кр, то нулевая гипотеза yt принимается, генеральные средние двух выборок не равны.

Новую технологию вводить нецелесообразно.