3. Временные характеристики

3.1. Переходная функция (характеристика)

Один из методов построения моделей «вход-выход» – это определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал, часто – на ступенчатый.

Ступенчатая функция часто встречается при анализе САУ. Примером функции 1(t) может служить: мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, управляющие воздействия, подаваемые на вход системы оператором.

Пусть модель объекта задана дифференциальным уравнением первого порядка (звено первого порядка):

T – постоянная времени.

Начальные условия нулевые: y(0)=0. Решая это уравнение при x(t)=1t, найдем переходную функцию звена:

Видно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равного k , то есть постоянная времени характеризует инерционность звена. Чем больше постоянная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно для того, чтобы перевести его в новое состояние.

Заметим, что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную характеристику можно снять экспериментально.

3.2. Импульсная переходная характеристика

Единичная импульсная функция, или дельта-функция, это производная от единичной ступенчатой функции δ(t) =1^’(t). Дельта-функция δ(t) равна нулю везде, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности.

Пример δ(t). Кратковременный ток короткого замыкания в генераторе, кратковременная нагрузка на валу двигателя.

Импульсная характеристика w(t) называется также весовой функцией.

С помощью переходной и импульсной переходной характеристик исследуются переходные процессы в элементах САУ.

4. Передаточная функция звена

Линейная система может быть описана дифференциальным уравнением с постоянными параметрами:

(4.1)

В этом уравнении коэффициенты a и b обычно представляют собой индуктивности, емкости и сопротивления элементов линейного устройства. Преобразование Лапласа непрерывной функции времени f(t), которая определена только для положительного времени (t > 0) математически выражается как:

(4.2)

Преобразуем данное уравнение в p-плоскость при помощи преобразования Лапласа. При этом учтём, что производная экспоненты равна самой экспоненте:

(4.3)

Благодаря этому свойству в результате преобразования Лапласа уравнение (4.1) преобразуется в

(4.4)

Из этого уравнения можно определить функцию передачи линейного устройства:

(4.5)

Здесь учтено, что часто для оператора s = σ + jω используют обозначение p= σ+ jω.

Таким образом, передаточной функцией звена (или системы) называется отношение операторных изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

С физической точки зрения W(p) можно представить как динамический, т.е., переменный во времени коэффициент передачи звена:

4. Частотные характеристики

Переходные характеристики дают, как отмечалось, информацию о поведении системы в переходных режимах. Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать поведение систем при синусоидальных воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. Выбор гармонических воздействий обусловлен следующими причинами:

• реальные воздействия можно разложить в ряды Фурье,

• гармонические воздействия можно легко получить в эксперименте.

Частотная передаточная функция (ЧПФ) может быть получена из передаточной функции (4.5) заметой s на jω:

(4.1)

W(jω) – это комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент сдвигу фаз входной и выходной величин.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

• амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

• фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

• амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

АЧХ – это модуль ЧПХ, т.е. .

ФПХ – это аргумент ЧПХ, т.е.

АФХЧ представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции W( jω ) =U(ω ) + jV(ω ) при изменении ω от 0 до ∞:

: