Проведение экспериментальных исследований и обработка полученных результатов

При проведении экспериментальных исследований могут решаться следующие задачи:

• выявление качественно-количественных закономерностей, устанавливающих отношение между переменными, которые описывают объект исследования в статическом (установившемся) режиме;

• нахождение значений переменных, обеспечивающих оптимальный по определенному критерию установившийся режим функционирования объекта.

Для решения поставленных задач разработаны разнообразные методы обработки результатов исследований.

Метод наименьших квадратов

При проведения опыта, целью которого является определение зависимости одной физической величины Y от другой X, неизбежны погрешности измерения. Поэтому возникает задача: по имеющимся экспериментальным точкам (y_i x_i) наилучшим образом воспроизвести искомую зависимость Y=f(X). Для решения подобных задач часто применяют метод наименьших квадратов, при использовании которого требование наилучшего (в смысле наиболее вероятного) согласования зависимости Y = f(X) с данными эксперимента сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой обращалась в минимум:

где y_i и x_i - экспериментальные значения переменных в i-м опыте; N- число опытов.

Корреляционный анализ

Во многих задачах требуется не только установить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других случайных величин, но и оценить тесноту этой зависимости. Известно, что две случайные величины X и Y могут быть связаны функциональной или статистической зависимостями. В последнем случае изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, если статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то она называется корреляционной (от лат. - взаимосвязь, взаимозависимость).

Корреляционный анализ позволяет оценить степень влияния фактора Х на исследуемую величину Y.

Пусть изучается зависимость одной физической величины Y от другой X. В результате независимых опытов получены N пар чисел (y_i,x_i). Эти данные позволяют оценить тесноту линейной связи между величинами X и Y. При этом приближенная зависимость Y = f(X) может быть представлена в виде

где т_х и т_у - математические ожидания величин X и Y соответственно; и - средние квадратические отклонения этих величин; r_ух - коэффициент корреляции,

к_ух - корреляционный момент случайных величин X и Y .

Величина называется остаточной дисперсией случайной величины Y относительно X. Она характеризует величину ошибки, которая получается при аппроксимации зависимости Y = f(X) линейной функцией вида. При r_ух=±1 остаточная дисперсия равна нулю, что свидетельствует о наличии функциональной зависимости между Y и X . При r_ух = 0 линейная связь между величинами Y и X отсутствует. Таким образом, величина r_ух, лежащая в пределах , может служить характеристикой тесноты линейной связи между X и Y : чем ближе величина r_yx по абсолютному значению к единице, тем эта связь теснее.

29