1. Общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы с циклической частотойω

 . (20.13)

В данном случае с учетом силы (20.13) уравнение движения (20.2) будет иметь вид:

 . (20.14)

После деления на m и преобразования (20.3) получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

 , (20.15)

где ω – частоты вынуждающей силы.

Решение такого неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение записывается в виде:

 , (20.16)

где   .

2. Параметрические колебания. Примеры параметрических систем. Параметрический резонанс.

Параметрические колебания — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

1. Амплитудно-частотная характеристика для линейной системы с одной степенью свободы. Явление резонанса.

АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono «откликаюсь») — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с некоторыми значениями (резонансными частотами), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с некоторой другой частотой, определяемой из параметров колебательной системы, таких как внутренняя (собственная) частота, коэффициент вязкости и т.п. Обычно резонансная частота не сильно отличается от собственной нормальной, но далеко не во всех случаях можно говорить об их совпадении.

В результате резонанса, при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемойдобротность. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г. в работах, посвященных исследованиюмаятников и музыкальных струн.

2. Собственные колебания в системе с распределенными параметрами. Главные собственные частоты.

распределённые системы), системы, состоящие из элементов, непрерывно распределённых в конечныхобластях пространства, так что происходящие в них движения передаются от одного элемента к другому и не могутбыть идеализированы как движения объектов.

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы.