Определитель графа

,

где S — множество всех возможных соединений графа.

Теперь рассмотрим методику расчета показателей надежности топологическим методом в установившемся режиме, где топологические коэффициенты С_i для каждой x_i вершины графа определяются непосредственно по графу, а затем вычисляется нужный показатель по ниже приведенным топологическим формулам.

Для определения коэффициента С_i необходимо:

– выбрать начальную вершину графа x_q отдельно для определения каждого из коэффициентов С_i ( ); начальная вершина может быть выбрана произвольно, однако выбор влияет на объем вычислений, поэтому ее надо выбирать так, чтобы были длинные прямые пути;

– построить множество К прямых путей из начальной вершины x_q в вершину x_i, для которой определяется коэффициент;

– для каждого k-го прямого пути построить множество замкнутых контуров подграфа G{X_k} и образовать возможные комбинации независимых замкнутых контуров (множество соединений S), где G{X_k} – подграф графа G{X, W}, образованный удалением множества вершин, входящих в k-й путь и прилегающих к нему дуг;

– записать коэффициенты C_i по найденным составляющим по формуле

гдe К – множество прямых путей из произвольно выбранной вершины х_q в х_i; Х_к - множество вершин, входящих в k-ый прямой путь.

Используя топологические коэффициенты, основные показатели надежности установившегося режима можно записать:

– вероятность нахождения системы в i-м состоянии

,

где n – число вершин графа;

– коэффициент готовности

,

где I_p – множество индексов работоспособных состояний системы;

– коэффициент простоя

,

где J – множество индексов неработоспособных состояний системы;

– среднюю наработку на отказ

,

где – подмножество индексов граничных состояний из X_р, из которых в неработоспособное состояние можно попасть за один переход;

– среднее время восстановления

,

где J⁺ – подмножество индексов граничных состояний из , из которых в работоспособное состояние можно попасть за один переход.

Основные положения топологического метода могут быть применены для определения показателей надежности неустановившегося режима с использованием преобразований Лапласа.

Билет 17. Показатели безотказности восстанавливаемых систем

Восстанавливаемые системы имеют поток отказов и периодически подвергаются воздействию системы технического обслуживания и ремонта. (рис.1.9), где

Рис.1.9. Процесс эксплуатации

ti — i-ая наработка на отказ.

ti — i-ое время восстановления после i-ого отказа

Случайную величину длительности безотказной работы между соседними периодами восстановления системы можно характеризовать функцией распределения длительности безотказной работы между окончанием восстановления после (i-1)-го отказа и моментом наступления i-го отказа Fi(t). Тогда показатель Qi(t) = Fi(t) будет означать вероятность наступления отказа системы за промежуток времени t после окончания (i-1)-го восстановления. Вероятность безотказной работы с момента окончания (i-1)-го восстановления за период t:

.

.

Средняя наработка на отказ за интервал времени от момента окончания (i-1)-го восстановления до наступления i-го отказа: T_oi

Перечисленные показатели можно назвать локальными. Они характеризуют безотказность в интервалах времени между двумя соседними отказами. Частным случаем локальных показателей безотказности восстанавливаемых систем будут показатели безотказности невосстанавливаемых систем, если рассматривать свойства безотказности до первого отказа ; ; и т.д.

Для общего случая, который учитывает все отказы за интервал времени t, используются общие показатели безотказности, в частности ведущая функция потока отказов W(t) (математическое ожидание случайного числа отказов за время t): ,

где М – математическое ожидание;

N(t) – случайное число отказов.

Следующий общий показатель безотказности - параметр потока отказов (среднее значение количества отказов в единицу времени за рассматриваемый интервал времени - имеет вид .

Справедливо обратное соотношение .

Наглядной характеристикой восстанавливаемых систем является среднее значение параметра потока отказов за рассматриваемую наработку T_P:

Среднюю наработку между отказами восстанавливаемого изделия характеризует показатель Т: .

Предел параметра потока отказов

.

Показатель (t) связан с показателями невосстанавливаемых изделий f(t) и (t) неравенством

.

Если случайные величины наработки между отказами одинаково распределены и независимы (одинаковые законы распределения случайной величины наработки между отказами), т.е. F1(t) = F2(t) = … = Fk(t), то (t) связан с плотностью распределения наработки между отказами f(t) уравнением возобновления

.

В некоторых случаях удобно искать решение преобразование Лапласа:

,

где

.

Если функция распределения наработки между отказами подчиняется экспоненциальному закону распределения, то расчет значительно упрощается.