Тема 2. Методи розв’язка нелінійних алгебраїчних рівнянь

2.1. Який з відомих Вам методів ( дехотомії, Ньютона-Рафсона, січних, продовження рішення по параметру та ін.) принципово забеспечує квадратичну збіжність рішення?

2 Бали

А. Ньютона-Рафсона і продовження рішення по параметру;

Б. Ньютона-Рафсона і дехотомії;

В. Ньютона-Рафсона і січних;

Г. Січних і дехотомії;

Д. Січних і продовження рішення по параметру.

2.2. Яка локальна апроксимація нелінійної функції застосовується в методі Ньютона-Рафсона? 2 бали

А. Лінійна через похідну в заданій точці;

Б. Лінійна через січну, проведену через дві задані точки;

В. Квадратична через урізаний інтерполяційний поліном Ньютона;

Г. Квадратична через поліном Чебишева;

Д Кубічна через сплайн-функції.

2.3. Яка головна умова збіжності метода простої ітерації для

р ішення рівняння x=F(x) ? 2 бали

2.4. Як змінюється збіжність метода Ньютона-Рафсона при вирішенні задач з кратним и коренями? 3 бали

А. Стає лінійною;

Б.Залишається квадратичною;

В. Стає такою же, як у метода січних;

Г. Не забеспечується взагалі;

Д. Зростає до кубічної.

2.5. Як глобальна похибка

р ішення нелінійного рівняння f(x)=0 ітераційною процедурою x=F(x) залежить від локальної похибки на двох сусідніх ітераціях? 3 бали

А. Вони пов’язані через коефіцієнт, що залежить від значення похідної від F(x) ;

Б. Вони пов’язані через постійний коефіцієнт;

В. Ці похибки співпадають;

Г. Вони незалежні;

Д. Вони пов'язані через квадратичну залежність.

2.6. Вирішити нелінійне рівняння , використовуючи метод Ньютона - Раффсона. Довести, що воно має один дійсний корень.і знайти значення кореня серед наведених нище можливих значень. 9 балів

Відповіді:

А. ;

Б. ;

В. ;

Г. ;

Д. .

2.7. Застосувати метод Ньютона - Рафсона для рішення системи нелінійних рівнянь

При виборі початкових значень та зробити першу ітерацію і знайти значення змінних x та y.

9 балів

Відповіді:

А. ; ,

Б. ; ;

В. ; ;

Г. ; ;

Д. ; ;

2.8. Вирішити нелінійне рівняння , використовуючи метод Ньютона – Раффсона при початковому значенні . 8 балів

Відповіді:

А. ;

Б. ;

В. ;

Г. ;

Д. .

Тема 3. Методи розв’язка нелінійних диферен-ційних рівнянь

3.1.Як похибка рішення залежить від значення кроку h і порядку k формули визначення наступного наближення?

3 бали

А. Пропорційна ступені h ,.

Б. Визначається добутком hk.

В. Не залежить взагалі

Г. Визначається часткою h/k.

Д. Стає залежною від h при k>3.

3.2. Як визначається порядок k формул наступного наближення при рішенні диференційних рівнянь.

А. Кількістью точок, в яких попередні значення змінної х чи її похідні використовуються для визначення наступного наближення;

Б. Кількістью похідних змінної х , що входять до формули оцінки наступного наближення;

В.Кількістью попередніх значень змінної х , що входять до формули оцінки наступного наближення;

Г.Кількістью членів у формулі оцінки наступного наближення;

Д.Кількістью позитивних коефіцієнтів у формулі оцінки наступного наближення.

3.3. Пам’ятаючи, що порядок формули оцінки наближення визначається кількістью точок, в яких попередні значення змінної х чи її похідні використовуються для визначення наступного наближення; знайти серед наступних формул формули третього порядку. 3 бали

А.

Б.

В.

Г.

Д.

3.4. Які серед наступних формул наближення є формули неявних методів? 3 бали

А.

Б.

В.

Г.

Д.

3.5. З яким максимально можливим кроком h можливе вирішення наступного рівняння

явним методом Ейлера? 4 бали

Відповіді:

А. h=0.04;

Б. h=4;

В. h=0.4;

Г. h=0.004;

Д. h=40.

3.6.При якому найбільшому значенні з наступних можливих рішення рівняння неявним методом Ейлера ще буде збігатися? 4 бали

Відповіді:

А. h=40;

Б. h=4;

В. h=0.4;

Г. h=0.004;

Д. h=0.04.

3.7. Вирішити методом Ейлера диференційне рівняння при початковому значенні y(0)=1 і зміні x з кроком 0.5 у діапазоні x=0 і x=1.

Знайти значення y(0.5) і y(1) та порівнювати ці значення з точними значеннями (отриманими при символьному інтегруванні заданого рівняння). 9 балів

Відповіді:

А. y(0.5)=3.21875, y(1)=5.875;

Б. y(0.5)=3.99875, y(1)=5.1975;

В. y(0.5)=2.81875, y(1)=5.075;

Г. y(0.5)=3.00175, y(1)=5.225;

Д y(0.5)=2.21875, y(1)=4.875.

3.8. Вирішити методом Рунге - Кутта четвертого порядку рівняння , використовуючи значення y(0)=1 та x=h=0.5

Знайти значення y(0.5) і порівняти його з точним значенням (отриманим при символьному інтегрувенні заданого рівняння). 9 балів

Відповіді:

А. y(0.5)=3.21875;

Б. y(0.5)=1.21875;

В. y(0.5)=2.21875;

Г. y(0.5)=1.98875;

Д. y(0.5)=3.00875;

3.9. Вирішити систему диференційних рівнянь

методом Ейлера для початкових значень y₁(0)=4, y₂(0)=6 і x=h=0.5.

Знайти значення y₁(2) та y₂(2). 9 балів

Відповіді:

А. y₁(2) = 1.265625, y₂(2)= 9.0940875.

Б. y₁(2) = 2.265625, y₂(2)= 8.0940875;.

В y₁(2) = 3.265625, y₂(2)= 10.0940875;.

Г. y₁(2) = 1.875625, y₂(2)= 9.5840875;.

Д y₁(2) = 0.265625, y₂(2)= 7.0940875;.