11.6. Материялық нүкте қозғалысының декарт координатындағы және табиғи осьтер бойынша дифференциалдық теңдеулері

Радиус векторы -ге тең материялық нүктеге әсер етуші күш болсын. Нүкте қозғалысына негізгі заңды қолдансақ алатынымыз:

, (11.3)

мұндағы, m нүкте массасы, -оның үдеуі. (11.3.)–теңдеуі нүкте динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады. Бұл–векторлық теңдеу. Оны әр түрлі координаттар өстеріне проекциялап жазуға болады. Мысалы, оны қозғалмайды деп алынған (3.2-сурет) декарттық координаттар жүйесіндегі өстерге проекциялайық:

3.2-сурет

, немесе:

, (11.4)

мұндағы, , , -нүкте үдеуінің осы координаттық өстердегі проекциялары, Fx. Fy. Fz нүктеге әсер етуші күштің осы өстердегі проекциялары. (11.4) - теңдеулер материялық нүкте қозғалысының декарттық координаттар өстеріне қатысты алынған дифференциалдық теңдеулері деп аталады.

Табиғи өстер бойынша дифференциалдық теңдеулері келесі түрде жазылады:

(11.5)

нүктенің түзу сызықты еркін тербелісі.

Айталық, массасы m- ге тең болған М материялық нүктеге барлық уақытта оны теп-теңдік қалпына қарай бағыттаған күш әсер етсін және осы нүкте түзу сызықты қозғалыста болсын (15.1-сурет).

 

 

 

15.1 сурет

Материялық нүкте координатасының функциясы ретінде алынған айнымалы және тепе-теңдік қалпына қарай бағытталған күш қайтарушы күш деп аталады. Қайтарушы күш нүктенің тұрған орнына байланысты болады, яғни:

Ғ= - сх. (15.1)

Мұндағы с - материялық нүктені ұзындық бірлігіне өткізу үшін қажет болатын күш, ол серпімділік коэффиценті делінеді, оның өлшем бірлігі Н/м, х- нүктенің абциссасы.

Бастапқы уақытта М нүктесінің абциссасы х₀ жылдамдығы V₀ болсын.

М нүктенің қозғалыс диффренциалдық теңдеуін құрамыз:

m = - cx (15.2)

Бұл өрнекке

к² =  (15.3)

белгілеуін енгізсек, онда (15.2) өрнегі төмендегідей жазылады:

+ к²х=0 (15.4)

(15.4)- тің жалпы шешімі төмендегідей болады:

(15.5)

(15.5)-тегі С₁ және С₂ тұрақты шамалар бастапқы шарттардан пайдаланылып анықталады, яғни

 (15.6)

Сонымен, М нүкте қозғалысы

 (15.7)

теңдеуімен анықталады.

Материялық нүктенің тербелмелі қозғалысын жалпы түрде зерттеу қолайлы болуы үшін С₁, С₂орнына а және   тұрақтыларды төмендегідей таңдаймыз:

 (15.8)

(15.8)-ді (15.5)-ке қойып, М нүктенің қозғалысын анықтайтын теңдеуді төмендегі түрге келтіреміз:

 (15.9)

(15.8)-дегі өрнектерді квадратқа шығарып қоссақ, соңынан (15.8)-дің екіншісін біріншісіне мүшелеп бөлсек және (15.6) ны есепке алсақ, онда

 (15.10)

келіп шығады.

(15.9)-дан көретініміз, материялық нүктенің қайтарушы күш әсеріндегі қозғалысы периодтық сипатқа ие болатын еркін тербелмелі қозғалыстан тұрады екен.

Олай болса (15.4) өрнегі нүктенің еркін тербелмелі қозғалысының дифферренциалдық теңдеуін береді, яғни (15.9) теңдеуі материялық нүктенің еркін тербелмелі қозғалыс заңын өрнектейді. (15.9) теңдеудегі а - нүктенің тепе-теңдік қалпыынан ең үлкен ауытқуы-тербеліс амплитудасы,кt+  - тербеліс фазасы,   - бастапқы фаза, к - тербелістің бұрыштық (дөңгелектік) жиілігі делінеді.

 

 

 

 

 

15.2 сурет

Еркін тербелмелі қозғалыс графигі 15.2 суретте көрсетілген.   период аралығында тербеліс фазасының 2 -ге өзгеруін есепке алатын болсақ, (2.9)-дан төмендегі теңдеуді жазуға болады:

k(t+ )+ =kt+( +2 ).

Бұдан еркін тербелмелі қозғалыстың периодын анықтайтын

=  (15.11)

формуланы шығарып аламыз.

Тербеліс периодының кері мәніне тербеліс жиілігі делінеді, оны   мен белгілесек, анықтамаға сәйкес:

.

(15.10),(15.11) дан көретініміз, тербеліс амплитудасы және бастапқы фаза қозғалыстың бастапқы шарттарына байланысты, тербеліс периоды, сондай-ақ тербеліс жиілігі нүктенің бастапқы орнына байланысты емес екен.Тербеліс периоды тербелмелі қозғалыстағы нүктенің өзгермейтін сипаттамасы. Тербеліс периодын табу үшін тербелмелі қозғалыстың дифференциалдық теңдеуін (15.4) түрінде құру және к - ны табу жеткілікті.

еріксіз тербелісі. Резонанс жағдайы.

 

Материялық нүкте қайтарушы күш және де уақыттың үздіксіз функциясы ретінде алынған айнымалы және мәжбүрлеуші (ұйытқытушы-оятушы) күш деп аталатын күш әсерінде түзу сызықты қозғалыста

15.6-сурет

болсын (15.6-сурет).

Оятушы үш гармоникалық заң бойынша өзгерсін,яғни:

 (15.34)

(15.34)-де Q оятушы күштің ең үлкен мәні, р-дөңгелектік жиілігі, , pt+ - фазасы,  -бастапқы фазасы.Ал, оятушы күш периоды   ға тең.

Бастапқы уақытта М нүкте М₀ де болып,оның координатасы х₀, жылдамдығы V₀  болсын.

Материялық нүктенің қозғалыс дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

 (15.35)

(15.35)-ті төмендегі түрде жазамыз:

 белгілеулер енгізсек,

 (15.36)

келіп шығады.

Дифференциалдық теңдеулер теориясынан, (15.36) теңдеудің шешімі төмендегідей жазылады:

х=x₁+x₂ (15.37)

(15.37)-де х₁-мен

 (15.38)

бір текті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, ал х₂ арқылы (15.36)-ның дербес шешімі белгіленген. (15.38) дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімі

 (15.39)

түрінде өрнектелуі белгілі.

(15.36) тұрақты коэффициентті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін төмендегі түрде аламыз:

 (15.40)

(15.40)- тағы В коэффициентті анықтау үшін (15.40)-тан уақыт бойынша екінші ретті туынды аламыз:

 (15.41)

(15.40) және (15.41)-ді (15.36)-ға қоямыз:

Бұл теңбе-теңдіктен:

Нәтижеде (15.40) теңдеуі төмендегідей жазылады:

 (15.42)

(15.42) теңдеуімен анықталатын қозғалыс материялық нүктенің мәжбүр болған (еріксіз) тербелмелі қозғалысы делінеді.

Демек, (15.36) ның жалпы шешімі төмендегідей жазылады:

 (15.43)

(15.43) тағы а және   қозғалыстың бастапқы шарттарынан анықталады.

(15.42) ден көретініміз, мәжбүр болған тербелмелі қозғалыстың амплитудасы немесе нүктенің ең үлкен динамикалық жылжыуы:

 (15.44)

болады.

(15.44) тен пайдаланып, (15.42) ні төмендегі түрде жазуымыз мүмкін:

 егер к>p болса;

егер к<p болса

Бұл қатнастарға сәйкес к>p болғанда мәжбүрлі тербеліс фазасы оятушы күш фазасымен бірдей болады. Ал к<p жағдайында мәжбүрлі тербеліс фазасы оятушы күш фазасынан  - ге артта қалады.

Мәжбүрлі тербеліс амплитудасы мен p/k арасындағы байланысты, қарастырайық. Бұл үшін (15.44)-ті төмендегідей түрге келтіреміз:

 (15.45)

Мұндағы l_ст =P₀/k² материялық нүктенің оятушы күштің максимал мәні Q₀ әсерінде алған статикалық жылжыуы белгіленген.

(15.44)-тен көретініміз, мәжбүрлі тербеліс амплитудасы оятушы күшке және еркін тербелістің дөңгелектік жиілігіне байланысты екендігі. Материялық нүктенің динамикалық жылжуының статикалық жылжуына қатынасы динамикалық коэффицент делінеді.

Оны   мен белгілейміз.

 (15.46)

Динамикалық коэффициент  мен

 арасындағы (15.46) байланыс 15.7-сурет

графигі 15.7 суретте бейнеленген.

Бастапқы шарттар  ,   болатын жағдайдағы қозғалысты зерттеу үшін (15.36) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін төмендегі түрде жазамыз;

 (15.47)

(15.47)-ден уакыт бойынша туынды аламыз;

 (15.48)

Материялык нукте қозғалысының бастапқы шарттарын (15.47) және (15.48)-ге қойсақ;

 (15.49)

келіп шығады. (15.49)-дан

табылады. Демек (15.47) төмендегідей түрде жазылады;

(15.50)

(15.49) дан көретініміз,   және де р к болғанда тербеліс өзіне тән түрге не болады. Бұл жағдай "Резонанс" жағдайы деп аталады.

"Резонанс" жагдайының теңдеуі;

,

немесе

 (15.51)

(15.51) теңдеуімен өрнектелетін қозғалыстың дөңгелектік жиілігі  , период  амплитудасы периодтық функция ретінде айнымалы тербелмелі козғалыстан тұрады деу мумкін. Бұл тербелістің амплитудасы:

Бұл амплитуданың периоды

Және ол T- ға қарағанда едауір үлкен болады.

(15.51) графигі 15.8 суретте көрсетілген. Еріксіз және еркін тербелістердің дөңгелектік жиіліктері бірдей болған ( ) жағдай резонанс жағдайы деп аталады.

15.8 сурет

 болғанда (15.36) дифференциалдық теңдеу төмендегідей жазылады;

 (15.52)

Резонанс жагдайында (15.52) теңдеудің дербес шешімін төмендегі түрде анықтаймыз:

 (15.53)

(15.53)-тен уақыт бойынша туынды аламыз:

 (15.54)

(15.53) және (15.54)-ті (15.52)-ге қойсақ;

) (15.55)

болады. (15.55)-тен

келіп шығады.

Демек, (15.52) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі төмендегідей болады;

. (15.56)

(15.56)-дан көретініміз, нуқтенің қозғалысы еркін және мәжбүрлі тербелістердің қосындысынан тұрады екен.

Резонанс жагдайындағы мәжбүрлі тербелмелі қозғалыс теңдеуі

 (15.57)

болады.

(15.57)-де   мәжбүрлі тербелістің амплитудасы,   фазасы, ал  деңгелектік жиілігі.

(15.57)-ге сәйкес, резонанс жатдайындағы мәжбүрлі тербелістің фазасы оятушы күш фазасынан  -ге артта қалады, ал амплитуда уақытқа пропорционал өзгереді.

 

 

 15.9 сурет 15.10 сурет

 

(15.57) теңдеуімен анықталатын козғалыс графигі 15.9-суретте бейнеленген.

екпіндік күштері. .Классикалық механикада салыстырмалық қағидасы (принципі). Салмақсыздық құбылыс.

 

Кинематикадан бізге белгілісі, қатты дененің жазық-паралелль қозғалысы осы денеде полюc деп алынған нүктенің кез-келген уақыттағы алатын орны және дененің осы нүктеден өтетін өсь төңірегінде айналған кездегі бұрылу бұрышы арқылы анықталады. Дененің инерция центрін полюc деп қабылдасақ, жазық-паралелль қозғалатын дененің кез-келген уақытта алатын орны инерция центрінің координаттары   және  бұрылу бұрышы арқылы анықталады.

Дене   ,  ,  , ...,   күштер әсерінде қозғалатын болсын (17.1-сурет). Бұл жағдайда 

нүктенің қозғалысын дене инерция центрінің 17.1-сурет

қозғалысы туралы теоремадан пайдаланып анықтау мүмкін:

 (17.1)

Ал, дененің   полюcке қатысты қозғалысы қозғалыс жазықтығына перпендикуляр болатын және   нүктеден өтетін Sz өсі төңірегіндегі айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуімен өрнектеледі:

 (17.2)

 белгілеулер енгізсек, қатты дененің жазық- паралелль қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін төмендегідей өрнектеу мүмкін:

 (17.3)

(17.3) көрінісіндегі дифференциалдық теңдеулер Декарттық координаттар жүйесінде төмендегідей жазылады:

 (17.4)

Дене масса центрінің траекториясы анық болса,   нүкте қозғалысын табиғи координаттар жүйесінде де анықтау мүмкін. Бұл жағдайда (17.4) дифференциал теңдеулер жүйесі

 (17.5)

түрінде болады. Мұндағы   инерция центрі траекториясының қисықтық радиусы.

. Механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

1. Еркін механикалық жүйе. Қандайда инерциялық координаттар жүйесіне қатысты алынған n материялық нүктелерден тұратын механикалық жүйе қозғалысын қарастырайық. Осындағы массасы -ға тең нүкте -ны жекелеп алайық та, оған әсер ететін сыртқы күштер мен ішкі күштердің тең әсерлі күштерін және бұл нүктенің радиус-векторы болсын. – нүктесінің қозғалыс теңдеуін вектор түрінде жаза аламыз:

. (15.1)

Мұндай теңдеу жүйедегі әрбір нүкте үшін де жазылады. Сонда (3.59) – теңдеулер жүйесі еркін механикалық жүйе қозғалысының векторлық түрдегі дифференциалдық теңдеулері. Егер осы векторлық теңдеулердің әрқайсысын OX, OY, OZ қозғалмайтын координаттық өстерге проекциялайтын болсақ, онда еркін механикалық жүйе қозғалысының координаттық түрдегі дифференциалдық теңдеулерін аламыз:

(15.2)

2. Еркін емес механикалық жүйе. Бізге n материялық нүктелердің еркін емес механикалық жүйесі берілген болсын. Оның қандайда бір нүктесіне әсер ететін сыртқы және ішкі актив күштердің тең әсерлі күшін -деп алайық. Байланыстардан ажырату туралы аксиомаға сүйене отырып берілген еркін емес механикалық жүйенің әрбір нүктесіне байланыстар реакцияларын түсіреміз. нүктесіне түсетін байланыстар реакцияларының барлығына тең әсерлі күш болсын. Жүйе нүктелерінің әрқайсысына актив күштерге қоса осылайша байланыстар реакцияларын түсіргеннен соң оны еркін механикалық жүйе деп алуға болады. Сол себепті бұл механикалық жүйенің әрбір нүктесіне Нъютонның II және III заңдарын қолдана аламыз. Сонда еркін емес механикалық жүйе қозғалысының векторлық теңдеулері мына түрде жазылады: , (15.3)

Бұл векторлық теңдеулердің әрбіреуінің екі жағын да қозғалмайтын OX, OY, OZ координаттар өстеріне проекциялау арқылы еркін емес механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін координаттық түрде аламыз:

,

, (15.4)

15.2. Жүйенің массалар ортасы қозғалысы туралы теорема. Бұл теореманы дәлелдеу үшін механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін еске түсірейік:

.

Осы теңдеулердің барлығын бір-біріне қосайық, сонда алатынымыз:

. (15.5)

Бұл теңдіктің оң жағындағы қосындылардың екіншісі, ішкі күштер қосындысы, нөлге тең. Ал оның сол жағындағы қосындыны (14.2) формуласын ескере отырып, мына түрге келтіре аламыз:

. (15.6)

Сондықтан (15.5) – теңдеуден іздеп отырған теореманың өрнегі мына түрге келеді:

немесе . (15.7)

(15.7) теңдігі жүйенің массалар центрінің қозғалысы туралы теореманы өрнектейді. Ол теорема былай айтылады: механикалық жүйенің массалары центрі материялық нүкте сияқты қозғалады. Бұл нүктенің массасы тұтас жүйенің массасына тең, ал оған әсер етуші күш механикалық жүйенің сыртқы күштерінің бас векторына тең болады. (15.7) векторлық теңдеуді координаттық өстерге проекцияласақ, мынадай үш скаляр теңдеу аламыз:

, (15.8)

мұндағы, Xc, Yc, Zc – массалар центрінің үдеуінің координаттар өстеріндегі проекциялары. (15.8) үш скаляр теңдеу -массасы М-ге тең және күші әсер ететін массалар центрі С нүктесі қозғалысының дифференциалдық теңдеулері. Өзінің құрамы жағынан бұл теңдеулер нүкте динамикасының осыған сәйкес теңдеулерінен ешқандай айырмашылығы жоқ. Сондықтан да жүйе массалары центрінің қозғалысын зерттеу мәселесі нүкте динамикасының мәселесіне жатады.

Массалар ортасы қозғалысының сақталу заңы. Егер жүйенің сыртқы күштерінің бас векторы нөлге тең болса, онда массалар центрі тұрақты жылдамдықпен қозғалады. Шынында болса, (15.8) - теңдіктен:

. (15.9)

Осыдан: . (15.10)

(15.10) – векторлық теңдікті жүйенің массалары центрі С-ның жылдамдығының сақталу заңы деп атайды.

КИНЕМАТИКА Нүкте қозғалысының векторлық тәсілмен берілуі. Нүктенің векторлық тәсілдегі жылдамдық және үдеу векторларын анықтау.

Векторлық тәсіл. Бұл тәсілде Oxyz координаттар жүйесіне қатысты нүктенің орны векторымен анықталады (2.4-сурет). Координаттар бас нүктесін және берілген М нүктесін қосатын вектор -ді нүктенің радиус–векторы деп атайды. Қозғалыс кезінде -өзінің модулін де, бағытын да өзгертеді. Демек, ол t-ның бір мәнді, үздіксіз,дифференциалданатын функ-циясы болып келеді. (2.5) өрнегі нүкте қозғалысының векторлық теңдеуі:

. (2.5)

Қозғалысы векторлық тәсілмeн берілген нүкте жылдамдығын анықтау

Нүкте М-нің қозғалысы Oxyz координаттар жүйесіне мына векторлық теңдеумен анықталсын: М нүктесінің қандай да t уақытындағы орны радиус векторымен, ал t₁=t+Δt уақыт мезгіліндегі орны радиус векторымен анықталсын (2.5-сурет). Траекторияның М және М₁ нүктелерін ММ₁ векторымен қосайық.Сонда векторлық үшбұрыш ΔOMM₁-ден мынадай векторлық қосынды алуға болады: ₁= +Δ . Осыдан екенін анықтаймыз. Радиус–вектор -дің Δt уақыт аралығындағы алған өсімшесі Δ -ді М нүктесінің орын ауыстыруы дейміз.Радиус-вектор өсімшесі Δ - дің оған сәйкес уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасы, Δt–уақыт аралығындағы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады. Ол мына формуламен беріледі: Нүктенің берілген t уақыттағы жылдамдығы деп уақыт өсімшесі Δt-нің нөлге ұмтылған кездегі орташа жылдамдықтың ұмтылған шегін айтамыз. (2.6)Берілген сәттегі нүкте жылдамдығы деп, оның радиус–векторының уақыт бойынша алынған туындысына тең болып келген векторлық шама, -ны айтамыз.

Қозғалысы векторлық тәсілмeн берілген нүктeнің үдeуі

(2.8)-теңдеу нүктенің жылдамдық векторы -ның уақытқа тәуелді өзгеруін көрсететін, мынадай теңдеуді береді: (2.9) Жылдамдықтың уақыт өтуіне байланысты өзгеруінің тездігін сипаттаушы физикалық шаманы үдеу деп атайды)Жылдамдық өсімшесі Δ -ның сәйкес уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасын алайық: (2.11)Нүктенің берілген уақыттағы үдеуі деп, Δt уақыт өсімшесі нөлге ұмтылғандағы орташа үдеудің ұмтылған шегін айтамыз: (2.12) (2.13) (2.14)

Сонымен, берілген уақыт мезгіліндегі нүктенің үдеуі деп жылдамдық векторының уақыт бойынша алынған бірінші туындысына (2.13) немесе нүктенің радиус-векторының уақыт бойынша алынған екінші туындысына (2.14) тең болатын векторлық шаманы айтамыз.