Линейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. Различают два вида таких уравнений: однородные, у которых правая часть равна нулю, и неоднородные, содержащие правую часть. Рассмотрим однородные уравнения. В общем виде они выглядят следующим образом:

Здесь а и b – постоянные коэффициенты. Это уравнение, вообще говоря, относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Разделим почленно на U(x) и умножим на dx, получим решение:

Постоянная интегрирования С находится из начальных условий.Рассмотрим пример. На электрическую цепь (рис.4.1),

,состоящую из резистора с сопротивлением R и конденсатора емкостью С, включением ключа В подается синусоидальное напряжение Еm·sin(ω·t + φ), где ω –угловая частота, φ – угол, определяющий момент подачи напряжения. В результате имеет место электромагнитный переходный процесс, который характеризуется изменяющимся во времени токомi(t) и напряжением u(t). Требуется определить зависимость этих величин от времени. Из электротехники известно, что такой переходный процесс описывается интегральным уравнением :

В практических расчетах чаще всего

E(t) - периодическая функция времени.

Дифференцируя получаем дифференциальное уравнение первого порядка:

Преобразуем уравнение, разделив обе его части на R и обозначив производную подаваемого напряжения как ξ(t). Кроме того, произведение R·C = T представляет собой постоянную времени схемы. получаем новую форму:

Характеристическое уравнение, его решение и решение однородной части:

Производная подаваемого напряжения:

Находим решение уравнения:

Интеграл табличный:

Подстановка полученного интеграла дает следующее значение тока:

Постоянная интегрирования А находится из следующих соображений. При

t = 0 интеграл в формула равен нулю, поскольку пределы интегрирования одинаковые. Кроме того, принимаем, что конденсатор перед подачей напряжения разряжен. В момент подачи напряжения сопротивление конденсатора равно нулю, отсюда следует:

Результат получается несколько громоздким, поэтому особой необходимости расписывать его нет.

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Они имеют широкое применение при анализе электромагнитных и электромеханических переходных процессах в электроэнергетических системах. Общий вид таких уравнений следующий:

Также, как и в случае уравнений первого порядка, различают уравнения однородные и неоднородные.

Однородное уравнение:

Неоднородные уравнения решаются в два этапа. На первом этапе решается однородная часть уравнения. На втором этапе предполагается, что коэффициенты есть функции аргумента х и их значение требуется определить.

Учитывая, что напряжение на конденсаторе есть интегральная функция от времени, имеем:

Дифференцируя это уравнение, получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Гиперболические функции

Формула Эйлера позволяет рассматривать в качестве аргумента мнимые величины, например, вместо α рассмотрим jα. Составим два уравнения Эйлера в которых мнимая часть аргумента

принимает положительное и отрицательное значение и решим эти уравнения путем их сложения:

Полученная зависимость говорит о том, что косинус мнимого аргумента образует зависимость, которую называют гиперболическим косинусом.

Если же обе части второго уравнения умножить на -1, получим новую систему уравнений, которую также решим путем сложения:

Из полученной формулы следует, что синус мнимого аргумента образует зависимость, которую называют гиперболическим синусом (зависимость, стоящая после мнимой единицы).

При решении уравнений учитывалось, что знак синуса зависит от знака аргумента, функция нечетная, знак косинуса не зависит от знака аргумента – функция четная.

По аналогии с обычными тригонометрическими функциями можно образовать и другие гиперболические функции:

При использовании гиперболических функций несколько расширяется понятие аргумента, а именно, вместо понятия угла для обычной тригонометрической функции вводится понятие обобщенного аргумента, изменяющегося от -∞ до +∞., причем аргумент может быть как действительным числом, так и мнимым, а даже комплексным.

Гиперболические функции описывают параметры длинных линий электропередачи, что будет показано в следующих разделах, причем аргументы будут использоваться в самом общем виде.

На рис. 1.3 изображены графики гиперболических синуса (у2(х)) и косинуса (у1(х)). Косинус имеет вид гиперболы (существует строгое доказательство, что это именно гипербола), причем значение функции не снижается ниже +1 и с ростом аргумента устремляется в бесконечность. Гиперболический синус изменяется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Таким образом, гиперболический косинус является четной функцией, а гиперболический синус нечетной функцией.

Следующий график (рис. 1.4) показывает следующие две зависимости, y3(x) – гиперболический тангенс и y4(x) – гиперболический секанс. Нетрудно заметить, что тангенс по абсолютной величине не превышает 1 при увеличении аргумента. Гиперболический секанс также не превышает единицы, но все его значения находятся в положительной области. При увеличении аргумента как в сторону отрицательных значений, так и положительных гиперболический секанс стремится к нулю. Из изложенного следует, что гиперболический тангенс является нечетной функцией, а гиперболический секанс четной функцией.

Две последние функции представлены на рис. 1.5, у5(х) - гиперболический котангенс, у6(х) – гиперболический косеканс. Однако на данном диапазоне аргументов эти две функции на графике практически неотличимы. Отличие начинается при больших значениях аргумента, причем с ростом аргумента гиперболический котангенс стремится к единице, а гиперболический косеканс стремится к нулю.

Из анализа графика рис. 1.5 следует, что обе функции нечетные, их знак зависит от знака аргумента.

Гиперболические функции находят широкое применение при использовании электромагнитных процессов в длинных линиях электропередачи и при составлении их математических моделей.