7. Экстремумы функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

В точке х= функция имеет максимум, если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x)<f( )

В точке х= функция имеет минимум, если в некоторой окрестности этой функции выполняется неравенство f(x)>f( )

В точках экстремума производная равна 0 или не существует.

8. Свойства производной.

Вынесение постоянной за знак производной (C*f(x))’=C(f(x))’

Правило суммы (f1+/-f2)’=(f1)’+/-(f2)’

Правило умножения (f1*f2)’=f1’f2+f1f2’

Правило деления (f1/f2)’=

Правило сложной функции (f(g(x)))’=f’(g)g’(x)

9. Вторая производная (ускорение).

Ускорение является производной скорости или второй производной от искомой функции.

Если ускорение положительно, то скорость возрастает – выпуклость вниз.

Если ускорение отрицательно, то скорость убывает – выпуклость вверх.

Если вторая производная в точке х= меняет свой знак с + на - , то это перегиб в точке.

10. Применение производной для анализа поведения функции.

План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

  1)  найти область определения и область значений функции,

2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

3)  определить, является ли функция периодической или нет,

4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

5)  найти интервалы знакопостоянства,

6)  найти интервалы монотонности,

7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек и при больших значениях модуля  x .

11. Первообразные и определенный интеграл.

Функция F(x) называется производной для функции f(x), если выполняется условие F’(x)=f(x)

Теорема.

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то тогда функция F(x)+C также является первообразной функции f(x).

Доказательство.

Известно F’(x)=f(x); (F(x)+C)’=F’(x)+C’=F’(x)

Вывод.

Операция восстановления функции по ее производной может быть выполнена с точностью до произвольной постоянной.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: где

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

12. Дифференциалы и его свойства.

Для вычисления дифференциалов можно использовать формулу: df(x)=f’(x)dx

Таким образом, правило вычисления дифференциалов совпадает с правилом вычисления производной d(Cf(x))=Cdf(x) Константу можно выносить за знак производной или дифференцирования.

d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)

13. Свойства неопределенного интеграла.

1) =C =CF(x)+C1 – константу можно выносить за знак интеграла

2) = + – интеграл от суммы равен сумме интегралов

14. Площадь и ее вычисления.

Площадь (как некоторое число) должна обладать следующими свойствами:

Площадь не отрицательна(больше или равна 0)

Свойство адъективности (S1)Ω(S2)=Ø S=S1+S2

15. Вычисление площади с помощью определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница.

Под криволинейной трапецией мы будем понимать область ограниченную: слева прямой х=а, снизу осью Оу(х=0), сверху кривой, которая соответствует прямой Ох.

Площадь криволинейной трапеции: S=

Можно доказать, что существует связь между определенным и неопределенным интегралом. Эта связь выражается формулой Ньютона Лейбница:

16. Дифференциальные уравнения, основные понятия.

Уравнение – это равенство, содержащее одну или нескольких неизвестных величин, и справедливое только для нескольких значений таких величин.

Дифференциальные уравнения – уравнения, содержащие аргумент, функцию и ее производные.

Решить дифференциальное уравнение означает найти некую неизвестную функцию, которая удовлетворяет данному уравнению вместе со своими производными у=у(х).

Дифференциальные уравнения 1 порядка содержат некоторую произвольную постоянную.

Для того чтобы можно было определить произвольную постоянную в решении необходимо задавать дополнительные условия (условие Коши).

Для дифференциальные уравнений более высокого порядка, нужно задавать несколько дополнительных условий Коши.