2.2. Описание статистической обработки экспериментальных данных для построения областей возможного использования продукции и оценки её технического совершенства

Обработка результатов экспериментов, полученных по методике представленной в п. 2.1, осуществляется с использованием специального программного обеспечения.

Исходной информацией для работы программы служат данные о работе режущего инструмента в условиях заключительного опыта каждой серии и заносимые в форму, представленную в таблице 1.

Таблица 1

№ повторения заключительного опыта	T	Q	A	q
1	2	3	4	5
…	…	…	…	…

Таблица 1 состоит из пяти столбцов:

- в первом столбце записывается номер повторения опыта;

- второй столбец содержит время работы инструмента до или между

отказами (T);

- третий столбец содержит величины объёма припуска (Q), снятого за

время T;

- четвертый столбец содержит соответствующие величины работы (A),

произведённой за время T;

- пятый столбец содержит величины расхода инструмента (q) за

время T.

Для статистической обработки полученных данных повторений каждого заключительного опыта используем методы разработанные в [4].

Обработка данных осуществляется следующим образом:

1. находим среднее арифметическое результатов повторений заключительного опыта - ;

2. определяем дисперсию левую относительно среднего:

, для ;

3. определяем дисперсию правую относительно среднего:

, для ;

4) определяем величину, называемую мерой асимметрии:

.

Эта величина служит признаком типа распределения:

• при 1 > 0.359 - это экспоненциальное распределение;

• при = 1 - это нормальное распределение;

• при > 1 - это ассиметричное распределение.

Так как распределения характеристик режущего инструмента

практически в большинстве случаев не являются нормальными, в качестве основной зависимости будем рассматривать линию мод.

Значение моды (с), расчитывается по формуле:

где: - среднее всех результатов повторений;

а ,σ – параметры получаем по таблицам, разработанным в [4].

Для оценки рисков при эксплуатации режущего инструмента необходимо иметь данные не только о моде распределения, но и о доверительном интервале его основных характеристик. Доверительным называют интервал, куда попадает искомая величина x с заданной вероятноcтью P , то есть:

P(B₁˂ x˂B₂)=1-α

где: α выбирают так, чтобы вероятность была равна P;

B₁, B₂ - границы интервала.

Для определения границ доверительного интервала здесь используются таблицы функции распределения, разработанной в [4]. По значениям меры асимметрии ( ) и выбранной величине вероятности (P) в таблице функции распределения находим величину доверительного интервала.

В этом интервале с заданной вероятностью (P) гарантируется работа инструмента при выбранной производительности без поломок. Причём для эксплуатационников важна лишь нижняя граница доверительного интервала.

Поэтому для каждого заключительного опыта определялась точка , определяющая нижнюю границу доверительного интервала.

Аналогично поступаем со всеми повторениями всех заключительных опытов.

После статистической обработки исходных данных и получения значений мод (таблица 2) и нижней границы доверительного интервала (таблица 3) для каждого заключительного опыта сводим их в таблицы для расчета зависимостей и построения графиков.

Таблица 2

Заключительный опыт для заданной производительности	TС	QС	AС	qС
1	2	3	4	5
…	…	…	…	…

Таблица 3

Заключительный опыт для заданной производительности	TР	QР	AР	qР
1	2	3	4	5
…	…	…	…	…

Аппроксимируем полученные экспериментальные значения известными функциями.

Используем метод наименьших квадратов, суть которого состоит в том чтобы свести к минимуму сумму квадратов разностей между значениями искомой кривой и соответствующими значениями из таблицы

, (1)

где: - искомая аппроксимирующая функция;

- значения из таблицы 1.

Наиболее приемлемой для аппроксимации экспериментальных данных в 1-ом и 4-ом квадрантах. является показательная функция:

, (2)

где: е - это число е = 2.718281828 (экспонента).

В этой формуле нам неизвестны значения параметров а,b и с.

Будем определять эти параметры (а,b и с) используя формулу (1).

Для нахождения минимума функции U нужно взять производную от функции

(3)

и приравнять ее нулю.

Производную от функции (2) использовать нельзя, потому что производная от экспоненты равна самой себе, то есть , поэтому чтобы избавиться от экспоненты (е) нужно уравнение (2) прологарифмировать.

Из уравнения получаем:

(4)

Используя формулы (3) и (4) переписываем формулу (1) в виде:

(5)

Берем частные производные от функции по искомым величинам а,b и с и получаем систему из трех уравнений частных производных:

Видно, что эти уравнения обращаются в ноль при равенстве нулю выражения в скобках:

или

(6)

Получили уравнение достижения минимума расстояния между искомой функцией и величинами полученных экспериментальных значений. В левой части уравнения под величиной y_i при построении графика Q = f(T) следует понимать объём снятого припуска Q за время T, при построении

A = f(T) следует понимать работу A, совершённую за время T. Аргументом x в обоих случаях является время работы инструмента до

или между отказами (T)

Таким образом для всех опытов получаем систему уравнений:

…………………….

где: n – это число опытов для данного инструмента.

Для решения этой системы уравнений удобно представить ее в матричном виде:

, (7)

где:

Это вектор-столбец значений из таблицы входных данных. В нашем случае это значения столбцов производительности или работы из таблицы.

Это матрица содержит значения моментов времени отсчета из таблицы входных данных.

Это вектор-столбец искомых коэффициентов для функции (2) т.е.

Из матричного уравнения (7) по правилам аналитической геометрии следует что вектор-столбец искомых коэффициентов можно найти путем решения следующего матричного уравнения

где - исходная матрица из таблицы входных данных

- транспонированная матрица получаемая их матрицы путем

перемены местами строк и столбцов

- вектор-столбец, указанный выше

Выражение - это обратная матрица от произведения транспонированной и исходной матриц. Вычисляем обратную матрицу в этой работе методом из аналитической геометрии, где каждый элемент обратной матрицы получается путем вычисления алгебраического дополнения каждого элемента исходной матрицы и делением его на ранг исходной матрицы.

Подставив в вышеуказанные матрицы конкретные значения из исходной таблицы, и решая матричные уравнения получаем вектор содержащий три числа, которые и есть искомые коэффициенты для уравнения :

- первое число вектора – это откуда получаем коэффициент:

- второе число вектора – это коэффициент b

- третье число вектора – это коэффициент c

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение (2) строим соответствующие графики.

Во втором квадранте строится зависимость Q = f(Q/q). Эту зависимость аппроксимируем формулой («Декартова листа»):

(8)

где: а – это коэффициент, который нужно определить используя столбец (q) из таблицы исходных данных.

y – это Q;

x – это Q/q.

Это неявное уравнение, то есть нельзя явно выразить одну переменную через другую.

Для построения этого графика нужно применять косвенные методы. В данном случае используем способ преобразования данного уравнения к неполному кубическому.

Для этого фиксируя произвольное значение на оси x и подставляя это значение в уравнение (8) получаем неполное кубическое уравнение.

Например, приняв х = 1, получаем:

(9)

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательных величин.

Решая неполное кубическое уравнение для конкретного значения x получаем три корня: два положительных и один отрицательный. Так как отрицательные значения практического значения не имеют, поэтому отрицательные значения мы отбрасываем.

График «Декартова листа» имеет вид петли состоящий из двух ветвей (назовем их верхней и нижней). Эти ветви симметричны относительно оси графика.

Продолжая фиксировать значения по оси x и решая соответствующие неполные кубические уравнения получаем два массива соответственно для верхней и нижней ветвей графика. Движение по оси x прекращаем в тот момент, когда при решении неполного кубического уравнения вместо действительных положительных корней появляются мнимые корни. Это означает что верхняя и нижняя ветви практически сомкнулись.

Вследствие симметричности ветвей графика для нахождения коэффициента а для формулы (9) используем также метод наименьших квадратов и аппроксимируем функцией .

Как и выше составляем уравнение:

и решая его соответствующим образом, находим коэффициент а.