5.2. Метод Зейделя.

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея метода состоит в том, чтобы использовать вычисленные компоненты вектора уже на текущей итерации, а не на следующей.

, т.е.:

, .

Система называется нормальной, если матрица является симметричной и положительно определена, т.е. .

Достаточный признак сходимости метода Зейделя: если исходная система нормальная, то метод Зейделя сходится.

Если исходная система не является нормальной, то ее можно привести к нормальному виду с помощью симметризации Гаусса – путем домножения левой и правой части матричного уравнения на транспонированную матрицу коэффициентов :

.

5.3. Метод верхней релаксации.

, где

- компонент решения на итерации k.

- вычисляемый компонент решения.

- значение компонента вычисляемое с помощью метода Зейделя.

,

Для нормальной системы метод релаксации сходится при любом начальном приближении и любом .

Лекция №6. Достаточный признак сходимости итерационных методов. Сравнение итерационных и прямых методов.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

6.2. Сравнение методов.

, , очевидное решение .

Метод Якоби.

Начальное приближение .

Итерация 1:

Итерация 2:

Итерация 3:

.

Метод Зейделя.

Начальное приближение .

Итерация 1:

Итерация 2:

Итерация 3:

.

Метод релаксации.

Начальное приближение .

Итерация 1:

Итерация 2:

Итерация 3:

Лекция №7. Методы приближений функций. Методы интерполяции. Метод Лагранжа. Метод Ньютона.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

7.1. Постановка задачи интерполяции.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точ­ках отрезка восстановить ее значения в остальных точках этого отрезка. Разумеется, такая задача допускает сколь угодно много решений. Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерения y_h=f(x_k) некоторой физической величины f(x) в точках х_к, к=0, 1, ..., к, и требуется определить ее значения в других точках. Интерполирование используется также при сгущении таблиц, когда вычисление зна­чений /(х) трудоемко. Иногда возникает необходимость приближенной замены или аппроксимации данной функции другими функциями, которые легче вычислить. Результаты и методы теории интерполирования и приближения функций нашли широкое применение в численном анализе, например при выводе формул численного дифференцирования и интегрирования, при построении сеточных аналогов задач математической физики.

7.2. Метод Лагранжа.

Найти полином означает определить значения его коэффициента . Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Определитель этой СЛАУ называется определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Таким образом, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .

Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:

.

Многочлены называется базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции необходимо, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:

для .

Если эти условия выполняются, то для любого имеем:

.

Таким образом, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.

Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.

1-е условие: при .

2-е условие: .

, т.е.

.

Окончательно для базисного многочлена можно записать:

.

Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:

.

Частная форма многочлена Лагранжа при называется формулой линейной интерполяции:

.

Многочлен Лагранжа взятый при называется формулой квадратичной интерполяции:

.