Раздел 2. Регулярные математические модели

Теоретические занятия (лекции) – 6 часов.

Лекция 1. Информационная. Рассматриваются математические модели аналитического типа. Излагаются понятия целевой функции и функционала. Рассматриваются примеры математических моделей в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры моделей, заданных в виде уравнений в частных производных. Излагаются наиболее распространенные методы их решения.

Полуэмпирические модели.

Как я уже отмечал ранее, четкой общепризнанной классификации математических моделей не существует. На этой лекции мы будем рассматривать модели, в которых используется описание физических процессов и/или особенностей конструкции. Будем называть такие модели регулярными. Они бывают самыми разнообразными. Рассмотрим некоторые из них.

Начнем с простеньких, представляющих собой алгебраические уравнения. Например, формула Циолковского

То есть приращение скорости аппарата зависит от скорости истечения и логарифма соотношения начальной и конечной масс.

Тяга двигателя определяется массовым расходом и скоростью истечения

Тепловой поток, излучаемый абсолютно черным телом по закону Стефана-Больцмана

Скорость ионов на выходе из ионного двигателя

Такие модели очень просты и удобны, однако на практике встречаются крайне редко. Часто они используются для построения более сложных моделей.

Теперь чуть более сложный случай. Искомая величина может быть не просто функцией от нескольких переменных, а функционалом (функцией от функции). Например, при равномерном распределении имеем простую формулу для расчета массового расхода

Но если распределение неравномерно, то уже будем иметь функционал

Чаще всего встречаются функционалы в виде интегралов по площади (потоки массы, энергии и т.п.), по объему (масса, количество и т.п.) или по времени (дальность полета, приращение импульса, вероятность отказа и т.п.).

Следующий класс моделей – модели основанные на дифференциальных уравнениях. Так уж получилось, что человечество разработало хорошо работающий математический аппарат дифференциального исчисления. И теперь большую часть физических процессов пытается описать с его помощью. В след за физиками инженерам тоже приходится работать с дифференциальными уравнениями. Начнем с обыкновенных дифференциальных уравнений. С их помощью иногда удается описать различные нестационарные явления: переходные процессы, колебания. Применительно к двигателям также часто встречаются уравнения движения частиц. Это могут быть вылетающие из форсунки капли топлива, частицы сажи в сопле или электроны и ионы в электроракетных двигателях. В любом случае мы имеем дело с законом Ньютона в виде

Только в стоящие в правой части силы для разных случаев различные. В одних моделях это сопротивление среды, в других – взаимодействие с электромагнитным полем.

Но по мере развития вычислительной техники все чаще обращаются к дифференциальным уравнениям с частными производными. Именно такими уравнениями можно описать большую часть происходящих в сложных системах (в том числе и двигателях) физических процессов. Применительно к технике такие модели сейчас широко применяются для тепловых, аэро-гидродинамических и прочностных расчетов. Приведу несколько примеров. Сначала попроще: уравнение теплопроводности

С точки зрения физики это означает, что тепловые потоки идут в направлении наиболее резкого изменения температуры.

Теперь чуть посложнее: уравнения Максвелла

где E – напряженность электрического поля,

_q – объемная плотность зарядов,

j – плотность тока,

B – магнитная индукция.

С точки зрения физики уравнения означают следующее. Вихри в электрическом поле образуются при изменении магнитного поля. Вихри в магнитном поле образуются токами и изменением электрического поля. Расхождение электрического поля определяется электрическим зарядом, а магнитного заряда не бывает.

Ну и более близкий для двигателистов случай: уравнения Эйлера для невязкой жидкости

частиц из одной группы в другую.

Физический смысл их таков. Первое уравнение – уравнение неразрывности (закон сохранения массы). В данном случае предполагается, что масса изменяется исключительно за счет конвективного переноса. Три последующих уравнения представляют компоненты закона сохранения импульса. Кроме конвективного переноса на изменение импульса влияет градиент давления. А последнее уравнение задает закон сохранения энергии. В эти уравнения можно вписывать дополнительные члены, отвечающие за другие процессы: гравитацию, горение, ионизацию и т.д. Если вписать члены, соответствующие вязкости, диффузии и теплопроводности, получим уравнения Навье-Стокса. Если добавить еще и взаимодействие с электрическим полем – получим магнитогидродинамическую модель плазмы.

Еще одним интересным классом моделей являются линейные детерминированные модели. У них есть два крупных источника возникновения. Первый: аппроксимация экспериментальных данных (линейная регрессия). Как я уже писал ранее часто при обработке данных заранее не известен закон их описания. Поэтому обычно первым делом рассматривают линейное приближение. А если при этом получится удовлетворительная точность, то на этом этапе и останавливаются. Второй источник: линеаризация более сложных моделей. Дело в том, что анализ и использование нелинейных уравнений как правило связаны с большим количеством трудностей, а само влияние нелинейностей часто невелико. Поэтому люди додумались линеаризовывать математические модели. Как правило достигается это разложением в ряд Тейлора с оставлением только линейных членов.

В линейных детерменированных моделях уравнения имеют довольно простой вид

У таких уравнений есть свои свойства. В частности, на практике инженеров обычно интересует максимум или минимум какой-то функции. У линейных уравнений как таковых оптимума нет. Поэтому для них всегда нужно указывать ограничения (как минимум область их применимости). Тогда оптимум всегда окажется на заданной ограничениями границе. Отсюда и методы поиска экстремумов основанные на обходе границ.

Теперь перейдем к нелинейным моделям. Кроме того, что для нелинейных уравнений существует гораздо меньшее количество аналитических методов решения, у них есть и еще одно очень неприятное свойство. Такие уравнения в общем случае имеют неединственное решение. В физике это часто приводит к явлению гистерезиса. То есть полученный результат зависит от того, каким путем к нему пришли. Простейший пример: топливо в форсунку подали, но пламени нет. Это одно решение. Задаем малое возмущение в виде поджига, получаем горение. Это уже другое решение, удовлетворяющее тем же уравнениям. Но кроме физических решений могут существовать и другие. Например, уравнения могут иметь решения с отрицательными плотностями, абсолютными температурами и т.п. Чтобы избежать получения нежелательных решений как правило вводят дополнительные ограничения и начальное приближение.

Общепризнанной классификации нелинейных уравнений нет. Но есть несколько часто используемых классов. Например, полиномиальные модели. Как следует из названия целевая функция записывается в виде полинома. К этому классу относятся также квадратичные модели. А среди них можно выделить неполные линейные (не содержащие квадратов переменных), именуемые также полилинейными (то есть линейными по каждому из своих аргументов). Вот пример билинейной функции

W(x.y)=ax+by+cxy

Еще один полезный класс нелинейных функций – позиномные, то есть представляющие собой произведение степеней своих аргументов. В качестве примера приведу уравнение локального теплообмена в ламинарном пограничном слое на пластине

С этого места очень легко перейдем к еще одной группе методов математического моделирования – к полуэмпирическим методам. В них предполагается использование точных моделей отдельных процессов, а недостающая информация берется из эксперимента. Особенно хорошо, если удалось найти аналитическое решение хотя бы для сильно упрощенной задачи. В приведенном выше примере аналитически удалось установить связь между локальным числом Нуссельта и локальным числом Рейнольдса. Но вот с влиянием числа Прандтля уже возникли некоторые трудности. Как их разрешили? Экспериментальным путем. То есть показатель степени нашли из эксперимента. А если нам нужно рассчитать теплообмен не на пластине, а, скажем, на лопатке? Тогда нужно учесть кривизну поверхности. Как это сделать? Ввести поправку. Откуда ее взять? Из эксперимента.

Почти все инженерные методики расчетов относятся именно к полуэмпирическим методам. Они получаются достаточно простыми и точными (при наличии достаточного количества экспериментальных данных), что и обеспечило им широкое распространение.

Рассмотрим теперь в качестве примера как рассчитываются параметры плазмы в газоразрядных устройствах. Концентрации частиц считаются примерно одинаковыми в рассматриваемой области. Для каждой группы частиц составляются уравнения баланса: количество «родившихся» частиц приравнивается к количеству «уходящих». Дополнительно составляется баланс энергии. Для примера составим уравнения для некого абстрактного газоразрядного устройства. Будем считать концентрацию нейтральных частиц известной (как правило, для ее нахождения пишется еще одно уравнение баланса). Ионы образуются в объеме устройства и выпадают на его поверхность. Уравнение баланса при этом запишется

Электроны эмитируются с катода, образуются в объеме в процессе ионизации и выпадают на поверхности устройства. Уравнение баланса при этом записывается так

Энергия вносится в разряд с электронами, эмитированными с катода. Поступающая энергия тратится на ионизацию и уносится с заряженными частицами, выпадающими на стенки устройства. Соответственно, уравнение баланса энергии запишется

К этим уравнениям обычно добавляются эмпирические зависимости «эффективных» сечений столкновения и энергии ионизации от температуры электронов. Полученную систему уравнений решают любым доступным численным методом. В результате находят концентрацию и потенциал плазмы, температуру электронов.

Лекция 2. Информационная. Рассматриваются различные примеры численных детерминированных моделей. Излагаются общие принципы поиска решения линейных детерменированных моделей. Рассматриваются примеры нелинейных детерминированных моделей и методы нахождения решения в данной постановке задачи.

Лекция 3. Информационная. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными. Уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов.