1. Физические основы классической механики

1.1. Перечень формул, которые можно использовать при решении задач без вывода

• Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором :

,

где  единичные векторы направлений (орты);  координаты точки.

• Средняя скорость материальной точки

где  вектор перемещения материальной точки за интервал времени Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения (см. рис. 1.1).

• Средняя путевая скорость

где  путь, пройденный точкой за интервал времени

• Мгновенная скорость материальной точки

,

где  проекции вектора скорости на оси координат.

• Модуль скорости

.

• Ускорение материальной точки

,

где  проекции вектора ускорения на оси координат.

• Модуль ускорения

.

При криволинейном движении вектор можно представить как геометрическую сумму векторов и :

.

• Модули этих ускорений:

.

Здесь  нормальное (центростремительное) ускорение, характеризует изменение скорости по направлению;  тангенциальное (касательное) ускорение, характеризует изменение скорости по величине; R – радиус кривизны траектории в данной точке. Векторы и в любой точке криволинейной траектории взаимно перпендикулярны (рис. 1.2).

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

,

где х₀ – начальная координата; t – время. При равномерном движении = const и а = 0.

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения (а=const) вдоль оси х

где – начальная скорость; t – время.

Скорость точки при равнопеременном движении

Необходимо учитывать, что при ускоренном движении а>0, при замедленном а<0.

• Модуль средней угловой скорости материальной точки, совершающей вращательное движение

где  изменение угла поворота в радианах за интервал времени

Модуль мгновенной угловой скорости

• Модуль углового ускорения материальной точки

• Кинематическое уравнение равномерного вращения

где  начальное угловое перемещение; t – время. При равномерном вращении  = const и = 0.

Частота вращения

или

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).

• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( = const)

где – начальная угловая скорость; t – время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

Следует помнить, что при ускоренном вращательном движении угловое ускорение >0, а при замедленном <0.

• Формулы связи между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки:

где  модуль линейной скорости; и  модули тангенциального и нормального ускорений;   модуль угловой скорости;   модуль углового ускорения; R – радиус окружности.

• Первый закон Ньютона для замкнутой системы материальных точек:

.

Второй Закон Ньютона для поступательного движения:

или ,

где  геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т – масса;  импульс; N – число сил, действующих на точку.

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы материальных точек

.

• Силы, рассматриваемые в механике:

а) проекция упругой силы на ось х

F_х= kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткость); хабсолютная деформация;

б) сила тяжести

,

в) сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)

,

где  гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить так же через напряженность гравитационного поля:

.

Напряженность гравитационного поля, создаваемого Землей вблизи ее поверхности, принято обозначать буквой Модуль напряженности или ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли

где М_З – масса Земли, а R_З – ее радиус;

г) сила трения (скольжения)

где   коэффициент трения; N – сила нормального давления.

• Работа силы при элементарном перемещении

,

где   угол между направлениями векторов и .

• Работа силы при конечном перемещении точки из положения 1 в положение 2

• Средняя и мгновенная P мощность

или P = F cos,

где А – работа, совершаемая за интервал времени t; dA – элементарная работа, совершаемая за бесконечно малый промежуток времени dt; – скорость точки приложения силы;  – угол между направлением действия силы и направлением перемещения тела.

• Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки (или тела):

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно,

или .

• Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k – жесткость пружины, х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r, друг от друга,

;

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии (формула справедлива при h<<R_З, где R_З– радиус Земли).

• Закон сохранения механической энергии:

,

где W – полная энергия замкнутой системы, взаимодействующих тел.

• Момент силы относительно произвольной точки О

,

где  радиусвектор, направленный от точки О к точке приложения силы и лежащий в плоскости действия силы.

,

где   угол между направлениями векторов и ; d – плечо силы – кратчайшее расстояние между точкой О и линией, вдоль которой действует сила.

• Момент инерции относительно оси вращения Oz:

а) материальной точки

,

где m – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения;

б) системы материальных точек

,

где m_i – масса i-й материальной точки; r_i – расстояние от этой точки до оси Oz;

в) твердого однородного тела плотностью 

где dV – бесконечно малый объем тела (символ «V» у интеграла означает, что интегрирование ведется по всем элементам объема твердого тела); r – расстояние от элемента объема до оси Оz.

• Моменты инерции некоторых твердых тел правильной геометрической формы:

а) тонкого однородного стержня длиной l относительно оси Оz, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс (C):

;

б) обруча (тонкостенного полого цилиндра) относительно оси Оz, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью полого цилиндра)

,

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска (сплошного однородного цилиндра) радиусом R относительно оси Оz, перпендикулярной плоскости диска (сплошного цилиндра) и проходящей через его центр масс:

;

г) однородного шара радиусом R относительно оси Оz, проходящей через центр масс шара

.

• Теорема Штейнера: момент инерции твердого тела относительно оси Оz^/, не проходящей через его центр масс

,

где – момент инерции тела относительно произвольной оси Оz^/; – момент инерции тела относительно оси Оz, параллельной оси Оz^/ и проходящей через центр масс тела; d – расстояние между осями; т – масса тела.

• Момент силы, действующий на тело, относительно точки О

где – радиус-вектор, направленный от точки О, относительно которой определяется момент силы, к точке приложения силы .

• Момент силы, действующий на тело, относительно оси Оz (проекция вектора на ось Оz)

где – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси Оz, l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы).

• Момент импульса материальной точки относительно точки О

,

где – радиус-вектор, направленный от точки О, относительно которой определяется момент импульса, к движущейся материальной точке, импульс которой равен .

• Момент импульса материальной точки относительно оси Оz (проекция вектора на ось Оz)

где – проекция импульса на плоскость, перпендикулярную оси Оz; l – плечо импульса (кратчайшее расстояние от оси Оz до линии, вдоль которой движется материальная точка).

• Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно оси Оz,

• Основной закон динамики вращательного движения:

а) относительно неподвижной точки

где – результирующий момент всех внешних сил, действующих на систему, относительно неподвижной точки О; – скорость изменения момента импульса системы относительно этой же точки;

б) относительно неподвижной оси Оz

где и – момент внешних сил и момент импульса системы относительно оси Оz. Для твердого тела с неизменным моментом инерции относительно оси Оz

где – момент инерции твердого тела, – угловое ускорение.

• Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:

а) относительно точки ( = 0)

= const;

б) относительно оси Оz ( = 0)

= const или = const,

  угловая скорость тела.

• Работа постоянного момента силы , действующего на вращающееся относительно оси Оz тело

где   угол поворота тела.

• Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Оz,

.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости

,

где – скорость центра масс тела, – момент инерции тела относительно мгновенной оси Оz, проходящей через его центр масс.

• Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки:

,

где х – смещение точки из положения равновесия; А – амплитуда (максимальное смещение);   циклическая частота;   начальная фаза колебаний.

• Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

• Связь периода колебаний маятника с частотой n:

.

• Приведенная длина физического маятника

,

где – момент инерции физического маятника массой m относительно оси Оz; d – расстояние от оси до центра масс тела.

• Периоды колебаний:

а) физического маятника

;

б) математического маятника

,

где l – длина математического маятника;

в) пружинного маятника

,

где т – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины.

• Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания

.

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела

.