3.Линейные однородные стационарные разностные уравнения второго порядка
Определение.
Линейным разностным стационарным уравнением порядка n называется уравнение вида
где
,
… ,
-
заданная
функция аргумента t
Такие уравнения являются наиболее важными для практики.
Определение.
Если
то
уравнение называется однородным.
Очевидно, такое
уравнение всегда имеет решение
Будем рассматривать линейные разностные стационарные уравнения второго порядка:
+
(1)
Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
+
(2)
Нетривиальное решение уравнения (2) будем искать в виде
,
где
Для
нахождения
подставим
в уравнение (2):
+
Отсюда
(
+
Так
как
имеем
уравнение
(3)
которое не имеет нулевых корней.
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (2).
Таким образом, - решение уравнения (2), когда - корень уравнения (3).
Возможны три случая:
Дискриминант
уравнения (3) положителен. Корни (3)
действительные и различные:
Тогда
функции
- решения
уравнения (2). Они линейно независимы,
так как
=
Теорема 1.
Если
и
-
линейно
независимые решения уравнения (2), то
-
его
решение для любых
Доказательство следует из линейности уравнения (2). Итак, в данном случае,
+
общее
решение (2).
Пример.
Решить
уравнение
Характеристическое уравнение
+ 9 + 8 = 0
имеет
два различных действительных корня
Общее решение:
,
D = 0. Характеристическое уравнение имеет один двукратный действительный корень:
Убедимся, что наряду с
решением уравнения (2) будет функция
Подставим
её в левую часть уравнения (2), раскроем
скобки и сгруппируем слагаемые:
(t
+ 2)
+
(t
+ 1)
=
=
=
Функции
,
– линейно
независимы, так как
= t
Отсюда следует, что решение уравнения (2) имеет вид:
=
Пример.
Решим
уравнение
Характеристическое уравнение
+ 6 + 9 = 0
Имеет
двукратный действительный корень
Общее решение:
D
Характеристическое
уравнение имеет два комплексных
сопряжённых корня:
=
Теорема.
Функция
является комплексным решением уравнения
(2) тогда и только тогда, когда функции
– действительные
решения (2).
Примечание: Real - действительный, Imagine – мнимый.
Доказательство следует из линейности (2).
Re
- общее
действительное решение уравнения (2).
Пример.
Найдём
общее решение уравнения
Характеристическое уравнение + 4 = 0 имеет два комплексных сопряжённых корня
Общее комплексное решение имеет вид
.
Так
как
+
),
то
Следовательно,
=
(
t),
где
Общее решение однородного разностного стационарного уравнения.