III семестр

9. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. (10 часов)

Степень с целым показателем, ее основные свойства. Графики степенных функций. Теорема о существовании корня n-й степени из действительного числа. Свойства корня n-й степени.

Степень с рациональным показателем, ее основные свойства. Определение степени с действительным показателем. Основные свойства степени с действительным показателем.

Показательная функция, ее основные свойства и график. Теорема о существовании логарифма. Логарифмическая функция и ее график. Основные свойства логарифмов.

Замечательные пределы , , , . Непрерывность логарифмической и показательной функций. Переход к пределу в показателе степени и под знаком логарифма. Переход к пределу в основании степени.

Общестепенная функция.

10. ПРОИЗВОДНАЯ. (10 часов)

Задача о нахождении касательной к кривой. Определение производной. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцируемость суммы, произведения, частного и композиции функций. Производная обратной функции. Дифференцирование элементарных функций.

Возрастание и убывание функции в точке. Локальные максимумы и минимумы. Необходимое условие экстремума. Теоремы Ферма, Ролля. Теорема Лагранжа о конечных приращениях, следствия из нее. Достаточные условия монотонности функции. Достаточные условия экстремума. Теорема Дарбу о промежуточном значении производной.

Выпуклые функции. Вторая производная и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора функций .

11. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. (8 часов)

Определение первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Простейшие свойства неопределенных интегралов. Подстановка и интегрирование по частям. Простейшие дифференциальные уравнения (задача о распаде радия, задача о форме прожектора).

IV семестр

12. ПЛОЩАДЬ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. (10 часов)

Аксиоматическое определение площади. Десятичная квадратная сетка. Верхняя и нижняя площадь ограниченной фигуры. Простейшие свойства верхней (нижней) площади: площадь прямоугольника, аддитивность площади при разрезании фигуры прямой. Площадь подграфика непрерывной неотрицательной функции.

Определенный интеграл Ньютона-Лейбница, его простейшие свойства. Интегрируемость непрерывной функции. Подстановка и интегрирование по частям в определенном интеграле. Вычисление площадей простейших фигур.

Квадрируемые (измеримые по Жордану) фигуры. Площадь границы квадрируемой фигуры. Инвариантность площади при движении.

Объем. Кубируемость. Принцип Кавальери. Применение интегралов к нахождению объемов простых тел. Объем призмы, пирамиды и усеченной пирамиды. Объем тел вращения (цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его сегментов, тора).

Теорема о среднем для определенного интеграла. Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Интеграл и длина гладкой кривой. Площадь поверхности.

13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. (10 часов)

Задание вектора на плоскости в полярной системе координат. Модуль и аргумент. Определение умножения векторов по формуле Муавра. Представление произведения в прямоугольной системе координат. Поле комплексных чисел и включение в него поля действительных чисел. Операция комплексного сопряжения.

Корни n-й степени из 1 и их расположение на плоскости. Корни n-й степени из комплексных чисел. Синусы и косинусы кратных углов.

Последовательности комплексных чисел, их сходимость. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Тригонометрические функции комплексного аргумента. Логарифмы комплексных чисел. Комплексная степень комплексного числа.

Стереографическая проекция и сфера Римана. Неограниченные последовательности комплексных чисел. Формулы стереографической проекции. Круговое свойство стереографической проекции.

Простейшие преобразования комплексной плоскости первого и второго рода (линейная функция, дробно-линейная функция). Инверсия. Круговое свойство дробно-линейного преобразования; свойство сохранения симметрии. Дробно-линейное преобразование, переводящее три данные точки в три другие данные точки.

14. МНОГОЧЛЕНЫ. (8 часов)

Многочлены и операции над ними. Теорема о делении с остатком. Теорема Безу. Схема Хорнера. Формула Тейлора, формула бинома Ньютона. Корни многочленов, кратность корней. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.

Основная теорема алгебры и следствия из нее. Теорема Виета. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на неприводимые множители 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами.

Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей над полем комплексных чисел. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей над полем действительных чисел.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяционный многочлен Ньютона.