2. Основные логические операции и способы их аппаратной реализации.

В булевой алгебре выделяют три основные функции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Остальные функции являются производными от приведенных выше.

Основные логические операции состоят из следующих элементарных преобразований двоичных сигналов:

1. логическое сложение или дизъюнкция (от английского "disjunction" — разъединение), обозначаемое символом " " и называемое также операцией ИЛИ. При этом число аргументов (слагаемых х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x₁ и x₂ описывается в виде логической формулы . Это значит, что у истинно (равно 1), если истинно хотя бы одно из слагаемых x₁ или x₂ И только в случае, когда все слагаемые х равны 0, результат логического сложения у также равен 0.

Для удобства записи сложных логических функций символ дизъюнкции " " можно условно отождествлять со знаком обычного сложения. Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели этой логической функции приведены в первом столбце таблицы 5.5;

2. логическое умножение или конъюнкция (от английского слова "соnjunction" — со􏰀 единение), обозначаемое символом " " и называемое также операцией И. При этом число аргументов (сомножителей х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x₁ и x₂ описывается в виде логической формулы . Это значит, что у истинно (равно 1), если истинны сомножители x₁ и x₂. В случае если хотя бы один из сомножителей равен 0, результат логического умножения у тоже равен 0.

Для удобства записи сложных логических функций символ конъюнкции " " можно условно отождествлять со знаком обычного умножения. Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели логической функции И приведены во втором столбце таблицы 5.5;

3. логическое отрицание или инверсия, обозначаемое чёрточкой над переменной и называемое операцией "НЕ". Эта операция записывается в виде и формулируется так: у равен НЕ х. Это значит, что у истинно (равно 1), если х ложно (равно 0), и наоборот. Как следует из выражения (5.5), операция у выполняется над одной переменной х и её значение всегда противоположно этой переменной (см. третий столбец таблицы 5.5).

Основные логические операции ИЛИ, И и НЕ позволяют аналитически описать, а логические элементы ИЛИ (дизъюнктор), И (конъюнктор) и НЕ (инвертор) — реализовать цифровое устройство без памяти, называемое комбинационным, любой степени сложности. Примеры контактной и простейшей схемной реализаций дизъюнктора, конъюнктора и инвертора приведены в предпоследней и последней строках таблицы 5.5.

Сопоставляя таблицы истинности для операций ИЛИ и И (см. таблицу 5.5), можно обосновать некоторые соотношения булевой алгебры, имеющие большое практическое значение. Например, принцип дуальности булевой алгебры записывается в виде двух следующих положений:

1. Если

2. Если

Из этих соотношений вытекает теорема (правило) де Моргана: инверсия выражения может быть представлена тем же выражением без инверсии с изменением всех знаков конъюнкции на знаки дизъюнкции, знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции и инверсией всех аргументов, т. е.

Эти соотношения позволяют взаимно заменять операции дизъюнкции и конъюнкции, а это даёт возможность построить любую переключательную функцию, используя только две операции: И и НЕ или ИЛИ и НЕ. Однако при использовании только двух элементов не всегда удается получить логические устройства наипростейшего типа.

Приведем основные аксиомы (теоремы) алгебры логики (без вывода):

Формулы 1 - 9 представляют собой тождества, в справедливости которых легко убедиться прямой подстановкой . Соотношения 10 и 11 иллюстрируют переместительный, а 12 и 13 — сочетательный законы. Соотношения 16 называют правилом склеивания, а соотношения 17 — правилом поглощения. В преобразованиях логических выражений важную роль играют формулы 141⁄418. Формулы де Моргана (18), как отмечалось, используют для того, чтобы перейти от логического произведения к логической сумме и обратно.

При использовании приведенных соотношений можно упростить записи и минимизировать логические выражения в смысле уменьшения числа символов.

Билет № 5: