Глава 4. Равнобедренный треугольник.

№13. Условие: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать: конец отрезка, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

№14. Условие: около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность, на дугах AC, AB и BC отмечены их середины B_1, C_1 и A_1 соответственно (при этом эти дуги содержат только две из трёх вершин треугольника каждая). Отрезок A_1B_1 пересекает отрезок BC в точке D.

Всегда ли можно из отрезков BA_1, A_1D и DB_1 составить треугольник?

№15. Условие: вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. В треугольнике проведены все высоты. Точка их пересечения- F. Высота CE продолжена до пересечения с данной окружностью в точке G. Около треугольника GBF описана окружность.

Доказать: Высота AD является касательной для второй окружности (точка касания - ортоцентр треугольника).

№16. Условие: остроугольный равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, проведена средняя линия треугольника с концами E и F на стороных AB и AC. Высота треугольника CD пересекаются в точке L. AD=a, CD=h, угол DCB равен b.

Доказать: CL=(a*\tg{b}+h)/2.

№17. Условие: в равнобедренном треугольнике ABC AC—основание и угол B меньше 90 градусов. Высота CD. Из D проведён отрезок DE, пероесекающий отрезок BC в точке F, перпендикулярный ему и равный высоте CD.

Может ли точка E лежать на описанной окружности треугольника ABC?

№18. Условие: вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. Прямая, параллельная AC, пересекает боковые стороны треугольника AB и BC в точках G и D соответственно, прямая AD пересекает окружность в точке E, назовём касательную к окружности в точке C как l.

Доказать: прямые l, GD и BE пересекаются в одной точке.

№19. Условие: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC; радиус описанной окружности треугольника-- R, а угол ABC равен a.

Доказать: AC^2=AB(AB+2R*\sin{3a}).

№20. Теорема о проекции медиатрисы равнобедренного треугольника.

Пусть вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность и на меньшей дуге BC отмечена середина её D. К стороне AB в точке B восстановлен перпендикуляр BE, равный основанию AC, во внутреннюю сторону.

Доказать: угол, под которым из точки E видна проекция отрезка AD на прямую AC, равен половине угла ABC.

Глава 5. Равносторонний треугольник.

№21. Теорема Ван-Схотена.

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

№22. Условие: вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность с центром O, через неё проведена прямая, параллельная AC и пересекающая касательную к окружности C в точке D. Середина стороны AB—точка E.

Найти, в каком отношении отрезок DE делит сторону BC.

№23. Условие: в равностороннем треугольнике ABC проведена высота BD, она разделена точкой E в отношении 1:2, считая от вершины. Середина AB—точка K, основание чевианы, проведённой из вершины A через точку E, пересекает сторону BC в точке L. Отрезок KL пересекает высоту BD в точке P.

Доказать: точки B, P, E, O являются гармоническими.

№24. Условие: в равностороннем треугольнике ABC проведена высота CF и чевиана CD, отличная от неё. Вершина треугольника B соединена с её серединой P. Отрезок BP пересекает CF в точке E.

Можно ли из отрезков, равных расстояниям от точек F и P до прямой AE и от вершины C до прямой BP, составить треугольник?