19. Свойства преобразования Лапласа: теорема линейности, т. Подобия, т. Смещения, т. Дифференцирования оригинала, т.Интегрирования оригинала.

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t) , fІ (t),…, f ⁽ⁿ⁾(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f ^(k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

.

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

.

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р₀

.

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

20. Свёртка функций. Теорема Бореля.

Сверткой функций f₁(t) и f₂(t) называется функция .

Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов.

Док-во. (меняем порядок интегрирования)= .

С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида F₁( p)·F₂( p).