Элементы теории погрешностей

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Существуют три вида погрешностей:

1) неустранимая погрешность, возникающая из-за неточности исходной информации, например неточности измерений;

2) погрешность метода;

3) погрешность вычислений, возникающая из-за округлений.

Основная задача теории погрешностей – указание области неопределенности результата.

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютной погрешностью числа x называется величина _х, удовлетворяющая условию

где x – точное значение величины, а – ее приближенное значение. В этом случае говорят, что определено с точностью до _х, т.е.

Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины

называется относительной погрешностью . Следовательно,

Относительная погрешность чаще всего указывается в процентах. Точность результата лучше характеризует его относительная погрешность, которая показывает какую часть самого числа составляет погрешность. Абсолютные и относительные погрешности числа принято округлять только в большую сторону, так как при округлениях границы

неопределенности числа, как правило, увеличиваются. По этой причине вычисления ведут с одним-двумя запасными знаками.

Рассмотрим, как определяются верные значащие цифры чисел. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. В противном случае цифра называется сомнительной.

Например, пусть и известно, что Тогда число имеет верные знаки 1,2,3, а 9 и 6 – сомнительные, т.к.

Если число имеет лишь верные цифры, его округленное значение имеет также лишь верные цифры. Приближенное значение числа, имеющего все верные цифры, может не совпадать с его точным значением.

При вычислениях желательно сохранять такое количество значащих цифр, чтобы их число не превышало числа верных цифр более чем на две единицы.

Возникновение вычислительных погрешностей

При решении задач на ЭВМ возникают так называемые вычислительные погрешности. Они обусловлены округлением чисел при записи и при выполнении арифметических операций.

Рассмотрим представление чисел в ЭВМ, которая работает, как правило, в двоичной системе, когда любое число записывается в виде последовательности нулей и единиц. Пусть x – действительное число. Его можно записать в двоичной системе с плавающей запятой:

(1)

где параметр p определяет порядок числа, а параметр t – количество значащих цифр в числе. Порядок чисел, представимых в ЭВМ, ограничен сверху и снизу, т.е.

где – машинный ноль, – машинная бесконечность.

Все вещественные числа, которые могут быть представлены в данной ЭВМ, расположены по абсолютной величине в диапазоне от M₀ до M_. Если в процессе счета появится вещественное число, меньшее по модулю чем M₀, то ему присваивается нулевое значение. При появлении в процессе счета вещественного числа, большего по модулю, чем M_, происходит так называемое переполнение разрядной сетки, после чего ЭВМ прекращает счет задачи.

Абсолютная погрешность записи числа с плавающей запятой (1) не больше единицы последнего разряда, т.е.

Из этого соотношения получим относительную погрешность представления

(1) чисел в ЭВМ:

То есть, предельная относительная погрешность представления действительных чисел в ЭВМ зависит только от значения t – числа разрядов, отведенных под мантиссу в записи числа. Чем больше t, тем точнее представление чисел.

При выполнении арифметических действий на ЭВМ одна арифметическая операция

вносит относительную погрешность не более чем 2^–t.