19. Взаимное расположение прямых.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S₁ и S₂.

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы следует взять по модулю.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. =0.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то параллельны их направляющие векторы S₁ и S₂. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:

=0.

При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.

18. Прямая в пространстве.

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

.

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

.

3. Общие уравнения прямой:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

4. Векторное уравнение прямой:

5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:

6. угол между прямыми:

18.1. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями . Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.

.

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому , т.е.

=0 является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости:

Рассмотрим прямую и плоскость Ах +By + Cz + D=0.

Одновременное выполнение равенств:

Аm +Bn+ Cp =0

Ах₀+By₀ + Cz₀ + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.

19. Эллипсоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

z=h .

Исследуем поверхность:

А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостями z=h не существует.

Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если , то уравнения можно переписать в виде: , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.