41. Определители и их основные свойства.

Определи́тель (детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю. Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.

• При добавлении к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число, определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

• Если поменять две строки (столбца) матрицы местами, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей

• Определитель квадратной матрицы 3*3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.

42.Разложение определителя по элементам строки (столбца).

   Рассмотрим квадратную матрицу  A  n-го порядка.        Выберем  i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем  i-ую строку и  j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом  M_i j:

.

      Алгебраическое дополнение  A_i,j  элемента  a_i j определяется формулой

.

Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца)

. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

- По строке

-По столбцу

43.Правило Крамера

Ме́тод Кра́мера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Для системы   линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы  , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что   отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы   и  , либо набор   состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Короче, это когда находим определитель из Иксов, потом определители, где свободные члены в разных местах и делим их на определитель из иксов. При этом определитель из исков не равн нули, а то методом крамера нельзя решать!