Выбор наилучшего решения на основе дерева решений (привести расчётный пример)
содержание задачи включает в себя структуру взаимосвязанных между собой альтернатив и возможных случайных событий, которую необходимо описать формально для нахождения наилучшего решения при заданном отношении ЛПР к риску.
Такая формализация и структуризация задачи, а также поиск наиболее предпочтительной для ЛПР альтернативы с учетом его отношения к риску могут быть реализованы на основе метода дерева решений. Данный метод позволяет синтезировать имеющиеся альтернативы и случайные события с учетом конкретных параметров и представить их структуру в виде графа специального вида, называемого деревом решений (то есть граф без циклов). Развернутая графически и конкретизированная численными значениями параметров структура задачи позволяет при оптимизации решения использовать критерии выбора наилучшей альтернативы, соответствующие выраженному ЛПР отношению к риску, с использованием процедур свертки и блокировки.
Процедура построения дерева решений на основе постановки задачи на содержательном уровне требует разграничения доступных ЛПР альтернатив и предполагаемых случайных событий, сопутствующих каждой из них в процессе развития рассматриваемой ситуации. Альтернативы зависят от ЛПР и должны быть ясно сформулированы как на содержательном уровне, так и формально с указанием параметров и конкретных их значений. Случайные события не зависят от ЛПР и должны быть сформулированы в виде полной группы событий с известными вероятностями их наступления.
Граф состоит из вершин и соединяющих их ребер (либо дуг). Он строится следующим образом. Для его начальной (корневой) вершины существует набор различных цепей (каждая из которых характеризует определенную возможную траекторию развития рассматриваемого процесса), приводящих к концевой вершине. Концевая вершина отражает экономический результат такой отдельной траектории цепи. Различают вершины прямоугольного и круглого типов.
Вершина прямоугольного типа отражает ситуацию, обусловливаемую необходимостью выбора одной альтернативы непосредственно самим ЛПР из некоторого множества имеющихся альтернатив (например, выбор типа транспорта, выбор конкретного маршрута и т.д.). Ребра, исходящие из такой вершины, отражают возможности такого выбора в виде определенных альтернатив (например, морской транспорт, автотранспорт и т.д.). При этом альтернативы могут и должны быть представлены с указанием конкретных значений параметров, значимых для расчетов при реализации такой траектории развития процесса.
Вершина круглого типа представляет собой определенный фактор, воздействие которого на рассматриваемый процесс имеет случайный характер и не зависит от ЛПР. Исходящие из такой вершины ребра соотносятся с набором рассматриваемых случайных сценариев, влияющих на конечный экономический результат, вероятности реализации которых должны быть известны.
Каждая траектория (цепь от корневой вершины к концевой вершине дерева решений) приводит к конечной вершине, которая может быть представлена как конкретное числовое значение экономического результата, либо как его случайная величина с известным законом распределения.
Процедура параметризации дерева решений подразумевает соотнесение параметров альтернатив и случайных сценариев исходной задачи с соответствующими вершинами и ребрами построенного графа.
Процедура свертки предусматривает для вершин круглого типа «замену» исходящих из них ребер, отражающих распределение вероятностей конечного результата, на определенный набор параметров, соответствующих критерию выбора при заданном отношении ЛПР к риску.
Представим основные критерии, которые используют для выбора наилучшей альтернативы.
Критерий EVC: fn(σ;m) = m max - для нейтральных к риску ЛПР;
Критерий MVC: fs(σ;m) = m – ks·σ2 max - для осторожных к риску ЛПР;
Критерий MVC: fr(σ;m) = m + kr·σ2 max - для склонных к риску ЛПР.
Соответственно, процедура свертки подготавливает параметры для выбираемых ЛПР критериев. При этом, в формате заданного отношения к риску в вершину круглого типа вписывается значение соответствующей функции выбора f(σ;m). Для этого рассчитываются необходимые параметры, конкретизирующие расположение альтернативы в пространстве «Риск-Доход».
Процедура блокировки требует для вершин прямоугольного типа зачеркнуть (заблокировать) на графе те исходящие из них ребра, которые ведут к заведомо неоптимальным (в формате предпочтений ЛПР) последующим вершинам графа, то есть не имеющим наибольшего значения соответствующей функции выбора. Тем самым исключаются из рассмотрения худшие варианты для траектории развития процесса. Таким образом, после реализации всех указанных процедур остается альтернатива с наибольшим значением функции выбора. Она и является наилучшей для ЛПР при заданном отношении к риску. Процедуры свертки и блокировки проводятся от концевых вершин к начальной вершине.
Пример 6.1 Для приведенной ниже ситуации в формате соответствующих цепей поставок требуется построить дерево решений и выбрать наилучшую альтернативу с учетом отношения ЛПР к риску.
Ситуация. Компании, специализирующейся в области производства лекарственных средств, предложен контракт на сумму 150 тыс. у.е. на изготовление нового лекарства. Необходимое фармакологическое сырье (далее субстанция) предполагается закупить в Китае (при условиях доставки до российской таможни за счет китайских партнеров). Стоимость данной субстанции составляет 100 тыс. у.е.
Необходимо учитывать, прежде всего, что при длительном пребывании в среде с температурой ниже нормативной субстанция теряет требуемые свойства. Сохранение свойств зависит от условий транспортировки и термостойкости упаковки. Субстанция для хранения и транспортировки может быть упакована:
в картонную тару;
в специальные деревянные ящики.
При температуре выше 100С свойства субстанции сохраняются 90 суток. При температуре от 0 до 100 С субстанция, упакованная в картонную тару, сохраняет требуемые свойства в течение 18 суток, а субстанция, упакованная в специальном деревянном ящике,- в течение 25 суток. При температуре ниже 00С субстанция, упакованная в картонную тару, сохраняет свойства в течение 10 суток, а в деревянных ящиках,- 17 суток. При упаковке в специальные деревянные ящики стоимость субстанции возрастает на 5% и составляет уже 105 тыс. у.е.
По условиям контракта в соответствии с технологическим процессом субстанция будет поставляться ранней весной. Поэтому для фактора температуры выделены два сценария, с учетом температуры:
либо в пределах от 0 до 100 С с вероятностью 0,6 (60%);
либо ниже 00 С – с вероятностью 0,4 (40%).
Нормативное время доставки субстанции железнодорожным транспортом составляет 17 суток. Требуется учесть также фактор возможных случайных задержек субстанции в пути. На основе статистических данных выделены три сценария:
в 75 % случаев задержек не бывает;
в 20 % случаев задержка в пути составляет одни сутки;
в 5 % случаев задержка в пути составляет двое суток.
Задержки груза в пути отражаются не только на сохранности свойств субстанции (в зависимости от типа упаковки), они обусловливают штрафы, которые для компании составляют 1% от стоимости контракта за каждые сутки опоздания изготовления готовой продукции (то есть 1,5 тыс. у.е.). Если субстанция теряет требуемые свойства, то в дополнение к указанным штрафам компания платит неустойку в размере 20 % от стоимости контракта (то есть 30 тыс. у.е.).
Рассматриваются следующие способы доставки субстанции:
отправка железнодорожным транспортом в обычном вагоне, причем:
а) в специализированных деревянных ящиках;
б) в картонной таре;
отправка железнодорожным транспортом в картонной таре и в отапливаемом вагоне с постоянной температурой выше 100С.
При этом известно, что доставка железнодорожным транспортом в обычном вагоне обойдется в 10 тыс. у. е., а в отапливаемом вагоне — 25 тыс. у. е.
Процедура построения дерева решений.. Прежде всего, необходимо сформировать структуру дерева решений, определяемую числом взаимосвязанных вершин прямоугольного и круглого типа и концевых вершин.
Вершины прямоугольного типа удобно представить следующим образом. Будет представлена одна начальная вершина «Выбор вагона» и две из нее исходящие «Выбор упаковки». Далее из каждой вершины «Выбор упаковки» исходит по одной вершине круглого типа «Фактор температуры внешней среды» (далее «Фактор Т»). При этом из каждой такой вершины далее исходят по две вершины круглого типа «Фактор задержек в пути» (далее «Фактор L»). Это объясняется тем, что «Фактор Т» имеет две реализации: Т1: 0 < t0 < 10 и Т2: t0 < 0.
Таким образом, в формате дерева решений имеем три вершины прямоугольного типа и девять вершин круглого типа. Далее из каждой вершины «Фактор L» исходят по три концевые вершины, соответствующие трем сценариям реализации L1: задержек нет; L2: задержка одни сутки; L3: задержка двое суток. Итого 18 концевых вершин.
Структура такого дерева решений представлена на рис 6.8. При этом для ЛПР очевидно, что альтернатив всего три: А1 – (отапливаемый вагон, картонная тара); А2 – (обычный вагон, картонная тара); А3 – (обычный вагон, деревянные ящики).
Процедура параметризации дерева решений. Ребрам, исходящим из вершин круглого типа и отражающим реализации случайных факторов, необходимо приписать соответствующие вероятности. Из каждой вершины «Фактор Т» исходит дуга/сценарий Т1 с вероятностью 0,6 и дуга/сценарий Т2 с вероятностью 0,4. Из каждой вершины «Фактор L» исходит дуга/сценарий L1 с вероятностью 0,75; дуга/сценарий L2 с вероятностью 0,2; дуга/сценарий L3 с вероятностью 0,05.
Далее требуется рассчитать значения экономических результатов для концевых вершин D1 - D18 , каждая из которых отражает итог определенной траектории развития рассматриваемого процесса. В частности, при выборе альтернативы А1 траектория при сочетании событий/сценариев T=Т1 и L=L1 (то есть траектория A1→T1→L1) завершится следующим результатом:
D1 = 150 – 100 – 25 = 25 тыс. у.е.
Представленный экономический результат для D1 обусловлен тем, что при транспортировке субстанции в отапливаемом вагоне возможность потери свойств исключена при любой температуре внешней среды. В качестве случайного фактора рассматривается лишь возможность задержек в пути. Поскольку при сценарии L1 задержек нет, то при расчете экономического результата D1 и не учитываются соответствующие штрафы.
Далее рассматриваются экономические результаты для остальных траекторий, «начинающихся с A1 и проходящих через T1» :
для траектории A1→T1→L2 находим D2 =150-100-25-1,5 = 23,5 тыс. у.е.
для траектории A1→T1→L3 находим D3 =150-100-25-3 = 22 тыс. у.е.
Для траекторий, «начинающихся с A1 и проходящих через T2» экономические результаты составят:
для траектории A1→T2→L1 находим D4 =150-100-25 = 25 тыс. у.е.
для траектории A1→T2→L2 находим D5 =150-100-25-1,5 = 23,5 тыс. у.е.
для траектории A1→T2→L3 находим D6 =150-100-25-3= 22 тыс. у.е.
Характерно, что экономические результаты D1 – D3 совпадают с результатами D4 – D6, соответственно. Такое совпадение обусловлено тем, что в связи с исключением влияния внешней среды (фактор T) при транспортировке в отапливаемом вагоне сценарии T1 и T2 рассматриваются формально, но не влияют на экономический результаты соответствующих траекторий
Для траекторий, «начинающихся с A2 и проходящих через T1 и T2» экономические результаты составят:
для траектории A2→T1→L1 находим D7 =150-100-10 = 40 тыс. у.е.
для траектории A2→T1→L2 находим D8 =150-100-10-1,5 = 38,5 тыс. у.е.
для траектории A2→T1→L3 находим D9 =150-100-10-3-30 = 7 тыс. у.е.
для траектории A2→T2→L1 находим D10 =150-100-10-30 = 10 тыс. у.е.
для траектории A2→T2→L2 находим D11 =150-100-10-1,5-30=8,5тыс. у.е.
для траектории A2→T2→L3 находим D12 =150-100-10-3-30 = 7 тыс. у.е.
Экономические результаты D7 – D12 отличаются от полученных результатов D1 – D6 из-за того, что транспортировка в картонной таре обходится на 10 тыс. у.е. дешевле. Кроме того, надо учесть также то, что в таком случае при сочетании сценариев T1 и L3, сочетании сценариев T2 и всех сценариев L1- L3 происходит потеря свойств перевозимой субстанции, что приводит к неустойке в 30 тыс. у.е.
Соответствующие расчеты для всех траекторий приведены в табл. 6.1., дерево решений после процедуры параметризации представлено на рис. 6.9.
Таблица 6.1