8) Параллельный перенос

Введем на плоскости систему координат O, X, Y. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка M (x; y) переходит в точку    где a и b – одни и те же для всех точек (x; y), называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами    (*) которые выражают координаты образа   через координаты прообраза M при параллельном переносе.

Рисунок 12.3.1. Парралельный перенос

Следствие 12.2.

• При a = b = 0 параллельный перенос совпадает с тождественным преобразованием. При этом каждая точка плоскости – неподвижная точка преобразования;

• При a² + b² > 0 параллельный перенос не имеет неподвижных точек.

• Параллельный перенос есть движение.

• Доказательство

Действительно, две произвольные точки    переходят при параллельном переносе в точки    Поэтому     Отсюда    Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, а значит, является движением. Теорема доказана.

10) Симметрия относительно оси.

Если на плоскости проведена прямая mm' (рис.1) и вне ее дана точка А, то симметричной ей точкой относительно этой прямой будет точка А', лежащая на перпендикулярной mm' прямой Аа, по другую сторону от прямой на равном ей расстоянии: ВА'=BA. Прямая mm' называется осью симметрии точек А и А'. Симметрия на плоскости относительно прямой линии называется осевой симметрией, а также отражением от прямой: точка А' является как бы зеркальным отражением точки А. На рисунке справа - плоские фигуры с одной, двумя и тремя осями симметрии.

Аналогичной является симметрия отражения пространственной фигуры: например, если предмет состоит из двух зеркальных половин, то каждую из этих половин можно рассматривать как бы зеркальным отражением другой от воображаемой плоскости (зеркала); эта плоскость называется плоскостью симметрии. Симметрия относительно плоскости носит также название

11)Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры). Центральная симметрия.

Точка A' (рис. 2) называется симметричной точке А относительно точки О, если О есть середина отрезка AA'; точка О называется центром симметрии. Два параллельных и равных между собой отрезка AB и A'B', но направленные в противоположные стороны называются обратнопараллельными. Обратная параллельность есть одно из характерных свойств фигур, обладающих центром симметрии. 14) Общее уравнение прямой

Ностальгически машем ручкой привычному   и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид:  , где   – некоторые числа. При этом коэффициенты   одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом  . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид  , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае  ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Готово.