Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору   , выражается формулой:

Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В некоторых задачах аналитической геометрии уравнение плоскости можно составить несколькими способами, и решение через точку и нормальный вектор – самое оптимальное.

Пример

Составить уравнение плоскости по точке   и вектору нормали  .

Решение: Используем формулу:

Ответ: 

Билет #34 Взаимное расположение плоскостей

Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями: 

Они могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными:  ;

3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: 

.

Совпадающие плоскости

Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства 

Рассмотрим плоскости   и составим систему:

Из каждого уравнения системы следует, что  . Таким образом, система совместна и плоскости   совпадают.

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных    пропорциональны:  , но  .

На практике очень часто первые три коэффициента банально совпадают ( ). Посмотрим, например, на уравнения параллельных плоскостей из Примера №8:

Комментарии, думаю, излишни, всё прекрасно видно. Но на всякий случай выполню формальную проверку, вдруг кому потребуется. Составим систему:

Из первых трёх уравнений следует, что  , а из четвёртого уравнения следует, что  , значит, система несовместна. Но коэффициенты при переменных   пропорциональны, следовательно, плоскости параллельны.

Пересекающиеся плоскости

Третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой  : Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных   НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 

Сразу отмечу важный факт: Если плоскости  пересекаются, то система линейных уравнений   задаёт прямую в пространстве. Но о ней позже.

В качестве примера рассмотрим плоскости  . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

Из первых двух уравнений следует, что  , но из третьего уравнения следует, что  , значит, система несовместна, и плоскости пересекаются.

Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой:

Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, необходимо знать две точки:

Пример

Дана плоскость  . Построить плоскость  , перпендикулярную данной и проходящую через точки  .

Решение: Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости  ? Известны две точки. Можно найти вектор  , параллельный данной плоскости. Но этого мало, нужен ещё один. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то вторым вектором следует взять нормальный вектор плоскости  .

Проводить подобные рассуждения помогает схематический чертёж: Для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали   от точки   в плоскости  .

Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, будут параллельны между собой). В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки.

Задача разобрана, решаем:

1) Найдём вектор  .

2) Из уравнения   снимем вектор нормали:  .

3) Уравнение плоскости   составим по точке   (можно было взять и  ) и двум неколлинеарным векторам  :

Ответ: