Уравнение Бернулли

Проследим за частицами жидкости, находящимися в начальный момент времени t₁ между сечениями S₁ и S₂. В следующий момент времени t₂, эти частицы будут между другими сечениями S΄₁ и S΄₂ . Если в момент времени t₁ энергия этих частиц равна Е₁ , то в момент t₂ она будет другой - E₂. Изменение энергии частиц равно работе внешних сил, действующих на эти частицы.

Б удем считать, что силы внутреннего трения в жидкости малы, и ими можно пренебречь, т.е. рассмотрим течение невязкой или идеальной жидкости. В этом случае внутренняя энергия частиц жидкости изменяться не будет (U = 0) Поэтому

Внешними силами по отношению к выделенным частицам жидкости являются силы давления. Силы тяжести для системы «частицы жидкости – Земля» являются внутренними силами. Работу совершают силы давления и , приложенные в нормальных сечениях S₁ и S₂. Таким образом,

А_внеш = F₁ Δl₁ – F₂ Δl₂ = p₁ S₁ Δl₁ – p₂ S₂ Δl_{2 ,}

.

Представим энергию частиц Е₁ и E₂ в виде суммы двух слагаемых

Е ₁ = Е₀ + E΄₁; Е₂ = Е₀ + E΄₂

Здесь E₀ -энергия частиц, заключенных между сечениями S΄₁ и S₂, E΄₁ -энергия частиц, находящихся между сечениями S₁ и S΄₁, E΄₂ - энергия частиц, находящихся между сечениями S₂ и S΄₂. Таким образом,

ΔE = Е₂ – Е₁= Е₀+E΄₂ – Е₀+E΄₁ =>ΔE = E΄₂ - E΄₁

Когда Δt мало, энергию E΄₁ и E΄₂ можно представить в виде суммы 2-х слагаемых:

Так как сжимаемость жидкости мала

ΔV₁ = ΔV₂= ΔV ρ₁= ρ₂ = ρ

Поэтому получим

Группируя слагаемые по индексу, получим известное уравнение Бернулли:

(3)

Как видим, в случае невязкой несжимаемой жидкости для любого нормального сечения трубы сумма трех давлений имеет одно и тоже значение

Величину называют динамическим давлением, - гидростатическим давлением, p – давлением.

Рассмотрим горизонтально расположенную трубу переменного сечения.

В этом случае h₁ = h₂. Поэтому



Е сли , то , и .

Т аким образом, давление будет больше там, где меньше скорость частиц жидкости, т.е. в наибольшем сечении трубы. Этот эффект широко используется в различных технических устройствах: в пульверизаторе, карбюраторе, водоструйном насосе и др.

Теперь рассмотрим примеры практического применения законов гидростатики.

Измерение давления в движущейся жидкости

В движущихся жидкостях давление измеряют с помощью специальных манометрических трубок. Для измерений используют прямую манометрическую трубку, называемую зондом, и трубку с изогнутым под прямым углом нижним концом, называемую трубкой Пито. Давление определяется по высоте поднятия уровня жидкости в трубках.

Зонд позволяет измерить давление в жидкости p. Оно равно

С помощью трубки Пито можно измерить величину

.

Прибор, состоящий, из трубки Пито и зонда, позволяет измерить скорость течения жидкости.

,

.

Такой прибор можно использовать для определения скорости корабля или самолета.