2. О пределим скорости тел после упругого удара.

Ограничимся случаем, когда тела движутся вдоль одной прямой, например, вдоль оси ОХ.

Законы сохранения энергии и импульса представим через проекции скоростей тел на ось ОХ

(1)

Заметим, что в рассматриваемом случае ² = _x².

Преобразуем приведенные соотношения

В результате получим

(2)

.

Мы приходим к выводу о том, что модуль относительной скорости в результате упругого соударения тел не изменяется. Коэффициент восстановления , определяемый соотношением

,

равен единице. Очевидно, что при неупругом ударе

.

Теперь завершим подсчет и найдем скорости тел после упругого удара:

.

Из приведенных соотношений окончательно получим

,

Проведем анализ полученных результатов.

I. Пусть массы тел равны m₁ = m₂ =m . а скорость второго тела до удара равна 0 . После удара их скорости и будут равны

Как видим, 1-е тело после удара остановится, а 2-е будет двигаться со скоростью 1-го тела. Тела обмениваются скоростями (импульсами).

2. Пусть m₁=m, а m₂=M, причем M >>m, . Небольшое тело соударяется с массивной «стенкой». Подсчитаем скорость тела и «стенки» после удара. До удара «стенка» неподвижна. Поэтому

Как видим, после удара тело будет двигаться в противоположном направлении практически с той же по модулю скоростью. Этот вывод может служить подтверждением известному закону упругого отражения тел. Скорость «стенки» в результате соударения практически не изменится.

3 . Рассмотрим один из случаев упругого косого удара двух шаров c равными массами m₁ = m₂ = m. Пусть один шар до удара покоился, а другой двигался со скоростью . Так как удар упругий кинетическая энергия шаров в результате соударения не изменится. Поэтому из законов сохранения импульса и энергии получим

Из первого соотношения следует, что векторы скорости образуют треугольник.

.

А из второго соотношения следует, что этот треугольник является прямоугольным. Поэтому шары после упругого удара разлетятся под прямым углом.

.

При ударе тела изменяют свои импульсы, но их суммарный импульс остается неизмененным. Поэтому в случае соударения двух тел можно записать

Как видим, из закона сохранения импульса непосредственно следует третий закон Ньютона.

Можно показать, что в принципе законы Ньютона можно вывести из законов сохранения.

Так как время взаимодействия тел мало, при ударе развиваются очень большие силы. Это используют при выполнении различных операций, требующих больших усилий, например, при ковке, штамповке, забивке свай, гвоздей и т.п.

Задача. С вершины горы высотой 125 м скатываются вниз сани массой 120 кг. Определите скорость саней у подножья горы, если уклон горы в среднем составляет 0,1, Если: 1) трением можно пренебречь; 2) коэффициент трения равен 0,05.

Решение: Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. В соответствии с этой теоремой для изменения кинетической энергией саней получим

1. , , .

.

.

2.

, , , , , ,

.