Сложение двух гармонических колебаний одного направления с неравными частотами. Биения

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих вдоль одного направления и имеющих неодинаковые частоты. Выясним характер результирующего движения точки в этом случае. Пусть

,

В соответствии с принципом суперпозиции смещений результирующее смещение будет равно сумме

Представим складываемые колебания векторами и , вращающимися против стрелки часов с угловыми скоростями и . И в этом случае амплитуда результирующего колебания будет равна модулю векторной суммы векторов и .

Однако в силу того, что векторы и вращаются с разными скоростями и , будут моменты, в которые векторы и направлены вдоль одной прямой в одну сторону и когда они направлены в противоположные стороны. Эти моменты будут периодически повторяться. Это значит, что амплитуда результирующего колебания, равная модулю , будет периодически изменяться. Периодические изменения амплитуды результирующего колебания называются биениями.

Определим период и частоту биений. Под периодом биений будем понимать интервал времени, в течение которого амплитуда результирующего колебания дважды достигает своего максимального или минимального значения.

Свяжем систему отсчёта с вектором . В этой системе отсчёта вектор будет вращаться с угловой скоростью . С этой же скоростью в данной системе отсчёта вектор повернётся на угол за , в силу чего

.

Учитывая что :

Как видим, частота биений равна разности частот складываемых колебаний. Биения широко используются в измерительной технике для измерения частот, настройки музыкальных инструментов и т. п.

Если амплитуды складываемых колебаний имеют одинаковые величины, то процесс сложения можно произвести и аналитически, используя известные тригонометрические тождества.

;

.

Когда частоты складываемых колебаний и близки друг к другу, полученный результат можно интерпретировать следующим образом: результирующее движение (колебание) получаемое в результате сложение двух гармонических колебаний одного направления, имеющих не равные, но близкие частоты можно рассматривать как гармоническое колебание, происходящее с частотой и медленно периодически изменяющейся амплитудой по закону:

, ,

.

Биения и фигуры Лиссажу широко используются для измерения частот, для градуировки генераторов и т.п.