Понятие определенного интеграла.
Рассмотрим функцию
определенную и непрерывную на некотором
отрезке
числовой прямой. Разобьем
на n отрезков
длины
точками
.
На каждом i-том
отрезке берем произвольную точку
.
Вычисляем значение функции
в каждой из этих точек и умножаем его
на длину соответствующего отрезка
.
После чего суммируем по всем отрезкам
.
Полученное выражение называют интегральной суммой. Понятие интегральной суммы играет определяющую роль в определении всех интегралов.
Если предел интегральной суммы при
стремлении к нулю максимальной длины
не зависит ни от способа разбиения
отрезка
на промежутки
,
ни от способа выбора точек
в
каждом из этих промежутков, то он
называется определенным интегралом
от функции
в пределах от а до b
и обозначается:
.
Свойства определенного интеграла.
Если
для всех
,
то
,
если a<b.Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на , то существует точка
,
такая что
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть
непрерывна на
и переменная
.
Тогда совокупность всех первообразных
для этой функции можно выразить формулой
.
Легко видеть, что
.
Откуда, заменив переменную интегрирования
снова на х, получим формулу Ньютона
–Лейбница:
Для того чтобы вычислить определенный интеграл, прежде всего вычисляется одна из первообразных F(x), затем вычисляется значение этой функции в точке b и вычитается её значение в точке а.
Пример.
Вычислить
.
Геометрический смысл определенного интеграла
Часть плоскости, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется при помощи определенного интеграла.
В случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле:
Если фигура, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, расположена по обе стороны от оси Ох, то:
Пусть, наконец, фигура
S ограничена двумя
пересекающимися прямыми кривыми
,
где
и прямыми х=a,
х=b,тогда площадь
находится по формуле:
