Основные законы механики. Две основные задачи динамики материальной точки.

Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона):

закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние;

основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление ;

закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие;

закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу;

вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий: t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки.

Линейные колебания материальной точки.

Колебательное движение материальной точки.

_{Свободные колебания}

Затухающие колебания при действии R_x= – b сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение) .

Вынужденные колебания кроме восстанавливающей силы действует переменная возмущающая сила, обычно, по гармоническому закону: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы,  – начальная фаза. ,

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения: +Hsin(pt+),

Относительно движение материальной точки.

В динамике О. д. называется движение по отношению к неинерциальной системе отсчёта, для которой законы механики Ньютона несправедливы. Чтобы уравнения О. д. материальной точки сохранили тот же вид, что и в инерциальной системе отсчёта, надо к действующей на точку силе взаимодействия с другими телами F присоединить т. н. переносную силу инерции J_пер = –mw_пер и Кориолиса силу инерции J_kop = –mw_kop, где m — масса точки. Тогда: mw_oт = F + J_пер + J_kop.

Определения материальной точки, механической системы, геометрически неизменяемой механической системы и абсолютно твердого тела.

Материа́льная то́чка (частица) — простейшая физическая модель в механике — идеальное тело, размерами и вращением которого можно пренебречь. Можно также считать размеры тела бесконечно малыми по сравнению с другими размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи.

Механическая система – группа материальных точек движение каждой из которых зависит от положения и движения других.

Геометрически неизменяемая механическая система – мех. Система в которой система координат не изменяется.

Геометрически неизменяемая система - в строительной механике -система соединенных между собой тел (напр., стержней, дисков), изменение формы которых невозможно без деформации материала.

Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело в процессе движения не подвергалось.

Дифференциальные уравнения движения точек механической системы. Определения внешних и внутренних сил. Основные свойства внутренних сил механической системы.

Внешние силы F^e – силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входящих в систему. Внутренние силы Fⁱ – силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему.

Свойства внутренних сил:

1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил = 0;

2) Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки = 0.

Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек:

или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы.

Центр масс механической системы. Способы вычислений кол-ва движения механической системы.

Центром масс мех. Системы называется точка радиус-вектор которой определяется по формуле

Количество движения системы Q (иногда обозначают К) – вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

, М – масса всей системы, v_C – скорость центра масс.

Теорема об изменении кол-ва движения механической системы.

Теорема об изменении количества движения системы:

– производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях: , и т.д. Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме:

, где – импульсы внешних сил.

В проекциях: Q_1x – Q_0x = S^e_kx и т.д. количество движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Теорема о движении центра масс механической системы.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела: и т.д. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. – проекция внешней силы.

Момент кол-ва движения материальной точки и механической системы относительно центра.

_{Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент)} – величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно центра О.

- момент количества движения матер. точки относительно центра О.

Теорема об изменении момента кол-ва движения механической системы относительно неподвижного центра.

Теорема об изменении момента количеств движения системы (теорема об изменении кинетического момента):

— производная по времени от кинетического момента механич. системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра. Аналогичные равенства относительно осей координат: и т.д.

Теорема об изменении момента кол-ва движения механической система относительно ее центра масс.

Производная по времени от кинетического момента механич. системы относительно центра масс геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Определение кинетической энергии механической системы и материальной точки. Кинетическая энергия твердого тела при вращательно, поступательно и плоскопараллельном движении.

Кинетическая энергия системы – скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы: . Если система состоит из нескольких тел, то Т = Т_к. Поступательное движение: Т_пост= .

Вращательное движ-ие: Т_вр= , J_z– момент инерции относительно оси вращения.

Плоскопараллельное (плоское) движ-ие: Т_пл= + , v_C – скорость центра масс. Общий случай: Т= + , J_CP – момент инерции тела относительно мгновенной оси.

Теорема Кенига: Т= + – кинетич. энергия мех. сист. = сумме кинетич. энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетич. энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Мощность силы, элементарная работа силы и работа силы на конечном перемещении.

Мощность: N= Fv, N=M_z.

Работа силы: (сумма элементарных работ на траектории)

Элементарная работа: dA = F×ds×cosa, где ds — элементарное перемещение, a — угол между направлениями силы и касательной к траектории точки её приложения, направленной в сторону перемещения

Работа силы тяжести, работа упругой силы и работа вращающего момента.

Сила тяжести равна F = mg и направлена по вертикали вниз. А=m*g*(h₁-h₂)

Работа силы упругости — работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения x1 до конечного значения x2: А=-(k/2)*(x₁²-x₂²)

Работа вращающего момента: равна

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , , – элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил, в конечной форме:

Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= , т.е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении. Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

Потенциальное силовое поле. Вычисление работы потенциальных сил.

Силово́е по́ле в физике — это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила (вектор силы).

Если работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём пробную частицу, не зависит от траектории частицы, и определяется только её начальным и конечным положениями, то такое поле называется потенциальным. Для него можно ввести понятие потенциальной энергии частицы — некоторой функции координат частиц такой, что разность её значений в точках 1 и 2 равна работе, совершаемой полем при перемещении частицы из точки 1 в точку 2.

Сила в потенциальном поле выражается через потенциальную энергию как ее градиент: F=-gradU

Работа равна интегралу от дифференицала потенциальной энергии определенному на промежутке от начального до конечно значения потенциальной энергии.