18. Соду. Неявный метод Эйлера. Устойчивость метода. (методичка)
Неявный метод Эйлера.
Пусть требуется численно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений
.
Формально неявный метод Эйлера можно получить, рассматривая
,
где – шаг интегрирования.
Разложим
в ряд Тейлора в окрестности точки
:
.
Ограничившись в разложении двумя членами, придем к разностной схеме неявного метода Эйлера:
.
Л
окальная
погрешность при этом определяется
отброшенными членами ряда Тейлора:
.
Сравнивая явный и неявный методы Эйлера между собой (см. рис. 14.1), следует отметить, что методы обладают близкой по модулю, но разной по знаку погрешностью.
Рассмотрим устойчивость неявного метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Применим его к системе уравнений
с отрицательно определенной матрицей , полагая шаг интегрирования постоянным:
.
Отсюда
Пусть – неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду
.
Привлекая матрицу , преобразуем итерационное правило следующим образом:
,
или
,
где новая переменная
.
Запишем
результат для
-й
компоненты вектора
:
.
Отсюда следует, что при любом , поскольку все .
Неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым по отношению к шагу интегрирования. При решении этим методом жестких систем дифференциальных уравнений шаг интегрирования выбирается только из соображений допустимой локальной погрешности.
19. Уравнения, описывающие стационарные процессы, процессы переноса, волновые процессы. Постановка краевых задач.
20. Метод интегральных тождеств. Kp-аппроксимация стационарного уравнения теплопроводности.
21. Метод интегральных тождеств. Kp-аппроксимация нестационарного уравнения теплопроводности.