Производная обратной функции.

Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция.

Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение

Наоборот,

Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: из следует , и обратно.

Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную . Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле,

Так как из того, что следует, что , то

Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция и обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).

Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функция имеет в соответствующей точке х производную .

Если же , то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором .

Пример 1.

Производная сложной функции.

Теорема:

Пусть функция такая, что , и функция такая, что , . Тогда функция и .

Доказательство:

дифференцируема в точке , тогда:

Рассмотрим ∆H:

8. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Производные и дифференциалы высших порядков. Геометрический смысл производной.

Теорема 1:

График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.

Доказательство:

Пусть существует значение f’( )-конечное, тогда

при

Секущая стремится к касательной.

=> ч.т.д.

Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный.

Секущая стремится к касательной.

=>

Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.

Если функция f имеет производную f΄(x_o) в точке x_o, то существует предел , где Δf=f(x_o+Δx)-f(x_o), , или , где A=f΄(x_o).

Определение:

Функция f дифференциируема в точке x_o, если ее приращение представимо в виде:

, где AΔx=df. (*)

Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.

Если существует конечная производная f΄(x_o) в точке x_o, то функция f(x) дифференцируема в этой точке.

Верно и обратное: если функция f дифференцируема в точке x_o, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке x_o, равную A:

Геометрический смысл дифференциала:

A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям x_o и (x_o+Δx) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(x_o) и f(x_o+Δx). Приращение функции Δf=f(x_o+Δx)-f(x_o) в точке x_o равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δf=BD=DC+CB, где DC=tgαΔx=f΄(x_o)Δx и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке x_o:

DC=df=f΄(x_o)Δx.

При этом на долю второго члена CB приращения Δf приходится величина . Эта величина, при больших Δx, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx, когда Δx→0.

9.Правило Лопиталя. Случай 0/0.Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0) Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то

Доказательство:1) a – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример: Правило Лопиталя. Случай . Теорема: Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем теперь предел отношения к :

[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

10.Схема исследования функции и построения графика функции При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения и область допустимых значений функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица. Задание. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью :

то есть точки

б) с осью : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые и - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: для любого из области определения функции; не существует при и .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: ; при и вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках и функция вогнута, а на промежутках и - выпукла. Так как при переходе через точку вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.