1.2 Решение систем линейных уравнений
Дана система:
1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.
2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов:
,
получаем решение матричного уравнения
в виде X = A-1B
Пример 7: Решить систему методом Гаусса.
решая
систему с конца, получим z=1,
y=1,
x=1
Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы
Раздел 2. Элементы векторной теории
2.1 Приложение векторной теории к решению задач
Координаты
вектора:
Длина
вектора:
Координаты
C
- середины отрезка AB:
,
,
Направляющие
конусы вектора
:
.
Косинус
угла между векторами
и
можно найти по формуле:
Для
нахождения площади треугольника ABC
используется геометрический смысл
модуля векторного произведения векторов
и
,
на которых построен треугольник ABC:
Для нахождения объема пирамиды ABCD, используется геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:
Пример1: Даны точки: A(4; -3; 5), B(6; -2; 3;), C(1; 2; 8), D(4; -2; 1).
Найти: 1) координаты вектора , его длину и направляющие косинусы; 2) угол между векторами и ; 3) площадь треугольника ABC; 4) объем пирамиды ABCD. Сделать чертеж.
Решение: 1) Найдем координаты вектора по формуле
Длину вектора вычислим по формуле ,
где X, Y, Z – координаты вектора.
Имеем:
.
Направляющие конусы вектора найдем по формулам:
.
Получаем:
2) Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:
Найдем координаты вектора и его длину:
.
Таким
образом,
.
Тогда
.
3) Для нахождения площади треугольника ABC используем геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:
Найдем координаты векторов , а затем векторное произведение векторов:
.
Тогда
4) Найдем объем пирамиды ABCD, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:
.
Найдем смешанное произведение векторов:
;
Чертеж сделать самостоятельно.
2.2 Прямая линия и её уравнения
Общее уравнение прямой: Аx+Вy+С=0
Векторное уравнение прямой: А(x-x0)+В(y-y0)+С=0
Каноническое
уравнение прямой:
Уравнение
прямой в отрезках:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, k=tgα=y0/x0
y-y0=k(x-x0)
Уравнение
прямой проходящей через две точки:
Угол
между двумя прямыми:
Условие
параллельности двух прямых:
,
,
Условие
перпендикулярности двух прямых:
,
,
Расстояние
d
от точки М0
(x0;y0)
до прямой Аx+Вy+С=0:
Пример 2: Даны вершины треугольника A(3;4), B(6;2), C(3;1/2). Составить: 1) уравнение стороны AB; 2) длину высоты треугольника, проведенной из вершины C; 3) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой AB; 4) внутренний угол B.
Решение: Сделаем чертеж (Рис. 2)
Рисунок 2 – Чертеж задачи
1)
По формуле:
;
AB:
=> -2(x-3)=3(y-4)
=> -2x+6=3y-12
=> -2x-3y+18=0
2)
Проведем высоту CD.
Длина отрезка CD
– расстояние от точки C
до прямой AB,
так как CD
┴ AB
=> по формуле
,
где (
-
координаты точки C,
а коэффициенты A,
B,
C
– из уравнения прямой AB.
3) Проведем прямую KC ║ AB. Из уравнения AB выразим y и найдем K1.
=>
K1=
.
Так как KC
║ AB
=>
K2 = K1 = и KC проходит через точку C (3;1/2) =>
-
это уравнение KC
4) Внутренний угол B – это угол между прямыми AB и BC.
По
формуле:
;
Так
как BC:
=>
=>
=>
;
