Последовательности

8. Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности. Теория: [1, стр. 30-31, 87-94], [2, стр. 68-72], [3, стр. 68, 75-78], [4, стр. 43-47], [5, стр. 29-30], [7, стр. 18, 31-33], [8, стр. 78-81], [11, стр. 20-21, 25-26], [17, стр. 165, 181-182], [21, стр. 288-290]. Решённые примеры: [4, стр. 181-183], 48-52], [17, стр. 165-167, 181-183], [20, стр. 60-64, 67-68]. Задачи: [14, зад. 41, 45, 58-66], [15, зад. 176-186], [17, зад. 7.284-7.289, 7.293-7.307, 7.309, 8.1-8.17, 8.73-8.75, 8.77-8.79, 8.82-8.85, 8.87-8.124, 8.126-8.138, 8.142-8.148, 8.191-8.196, 8.206-8.209, 8.262-269, 8.295-8.296], [19, зад. 229-242], [20, зад. 303.1-304.1, 324.1-332.1, 372.1-373.1], [25, стр. 9-10, 12-14].

Пусть X – непустое множество. Всякое отображение множества натуральных чисел N в множество X называется последовательностью элементов множества X.

В частности, числовой последовательностью является «занумерованное» натуральными числами некоторое непустое множество действительных чисел.

Последовательность обозначается или , .

Конечная или бесконечно удаленная точка a числовой прямой называется пределом числовой последовательности , если, какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены последовательности , начиная с некоторого номера; точка a называется пределом последовательности . В этом случае пишут , или при .

С помощью логических символов опр. 1. записывается следующим образом:

.

Числовая последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся.

.

Последовательность, пределом которой является бесконечность, называется бесконечно большой.

.

.

9. Единственность предела последовательности. Теория: [1, стр. 94-95], [2, стр. 72], [3, стр. 78], [4, стр. 53-54], [5, стр. 30], [11, стр. 27], [17, стр. 181].

Сходящаяся последовательность может иметь только один предел.

9. Переход к пределу в неравенствах. Теория: [1, стр. 95-100], [2, стр. 72-76], [3, стр. 81-83], [4, стр. 56-57], [5, стр. 33-34], [7, стр. 44-45], [8, стр. 82-83], [11, стр. 29-30], 115-117], [17, стр. 188-189]. Решённые примеры: [17, стр. 189-191], [20, стр. 68-69]. Задачи: [17, зад. 8.24-8.34, 8.71, 8.76].

Если для всех имеет место равенство , то .

Если для последовательностей , и при любых справедливы неравенства и , то .

Если , и , существует такой номер , для всех номеров выполняется неравенство .

9. Ограниченность сходящейся последовательности. Теория: [1, стр. 100-101], [2, стр. 76-77], [3, стр. 69-71, 78], [4, стр. 52-53], [5, стр. 31], [8, стр. 81], [11, стр. 21-22, 27], [17, стр. 167, 183], [21, стр. 290-291]. Решённые примеры: [17, стр. 167-168, 183-184], [20, стр. 61]. Задачи: [14, зад. 44, 93-110], [17, зад. 7.310-7.338, 8.86], [25, стр. 10-11].

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество его значений ограничено сверху (снизу).

Если числовая последовательность сходится, то она ограничена.

9. Бесконечно малые последовательности. Теория: [1, стр. 109-111], [2, стр. 77-79], [3, стр. 71-75], [4, стр. 47-48, 57-58], [5, стр. 35-36], [8, стр. 85-87], [11, стр. 22-25], [17, стр. 184]. Решённые примеры: [4, стр. 50-51], [20, стр. 72]. Задачи: [14, зад. 42], [20, зад. 321.1-323.1], [25, стр. 11-12].

Пусть и – числовые последовательности. Тогда числовая последовательность называется суммой + , – разностью – , – произведением , а если для всех номеров выполняется неравенство , то последовательность называется частным данных последовательностей.

Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.

Линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой.

Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность является бесконечно малой.

9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Теория: [1, стр. 111-122], [2, стр. 79-82], [3, стр. 79-81], [4, стр. 58-60], [5, стр. 31-33], [7, стр. 42-44], [8, стр. 83-85], [11, стр. 28-29], [17, стр. 187]. Решённые примеры: [4, стр. 62-70], [17, стр. 187], [20, стр. 71-73]. Задачи: [14, зад. 127-130], [15, зад. 245-267], [17, зад. 8.18-8.23, 8.149-8.157], [19, зад. 243-257], [20, зад. 355.1], [25, стр. 14-15].

Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу a, тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой: .

Если , то .

Если и , то

.

Если последовательности и сходятся, то их произведение также сходится и выполняется равенство .

Если последовательности и сходятся, для всех номеров выполняется неравенство и , то их частное также сходится и выполняется равенство и выполняется равенство .

9. Монотонные последовательности. Теория: [1, стр. 101-103], [2, стр. 82-84], [3, стр. 83-85], [4, стр. 70-72], [5, стр. 34-35], [7, стр. 45-46], [8, стр. 87-89], [11, стр. 30-32], [17, стр. 168-169, 170, 201], [21, стр. 291]. Решённые примеры: [4, стр. 72-77], [17, стр. 169-170, 201-202], [20, стр. 60-61, 69-70]. Задачи: [14, зад. 77-85], [17, зад. 7.339-7.362, 8.65-8.67], [18, стр. 83-84], [19, зад. 262-272], [20, зад. 305.1, 333.1-339.1], [25, стр. 15-17].

Числовая последовательность называется возрастающей (строго возрастающей, убывающей, строго убывающей), если для всех выполняется неравенство (соответственно , , ).

Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается ( ).

Всякая возрастающая (убывающая) числовая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху (снизу), и бесконечный, если она неограничена, причем ( ).

9. Число «е». Теория: [1, стр. 103-105], [2, стр. 84-85], [3, стр. 86-88], [4, стр. 77-79], [7, стр. 47-51], [8, стр. 89-90, 140-141], [11, стр. 32-33], [17, стр. 202], [21, стр. 292-293]. Решённые примеры: [17, стр. 202-203]. Задачи: [14, зад. 69-76], [17, зад. 8.68-8.70, 8.125, 8.212-8.227], [19, зад. 258-261], [25, стр. 17].

Последовательность , , строго возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет конечный предел. Этот предел обозначают через е:

.

9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теория: [1, стр. 99-100, 105-107, 136-139], [2, стр. 85-88], [3, стр. 92-99], [4, стр. 85-92], [5, стр. 36-39], [8, стр. 93-101], [17, стр. 196-197]. Решённые примеры: [4, стр. 86-87], [17, стр. 196-198], [18, стр. 67-69], [20, стр. 70-71]. Задачи: [14, зад. 89-92, 101-126, 131-136], [17, зад. 7.290-7.292, 7.308, 8.49-8.57, 8.80-8.81, 8.159-8.182], [18, стр. 84, 148-150].

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

9. Критерий Коши сходимости последовательности. Теория: [1, стр. 107-109], [2, стр. 88-90], [3, стр. 102-105], [4, стр. 83-85], [5, стр. 39-40], [8, стр. 101-103], [17, стр. 199-200]. Решённые примеры: [17, стр. 199-200]. Задачи:[14, зад. 87-88], [17, зад. 8.58-8.64, 8.183, 8.197-8.205, 8.261].

Числовая последовательность называется фундаментальной, если .

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной