3. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері: сызықтық, ұқсастық, ығысу және кешігу. Түпнұсқа анықтамасы. Бейнелер кестесі. (рауандікі)

Келесі шарттарды қанағаттандыратын, t нақты айнымалының f(t) фун-сы бастапқы фун-я немесе түпнұсқа деп аталады:

1. t>0 кезінде f(t)=0

2. егер М>0 және s-бәршама нақты сан болса, онда

|f(t)|≤Me^st t≥0 кезінде (16,1)

3. f(t) – кез келген арқылы кесіндідегі құрама – үзіліссіз және интегралданатын t өзгеріс.

Теңсіздік сол үшін орындалатын, s бүкіл сандарының s₀ дәл төменгі жағы (шегі) f(t) фун-дың өсу көрсеткіші деп аталады.

Егер өзіндік емес интеграл бар болса

F(p)= (16,2)

Мұндағы p=a+bi, Re p=a>0, lmp=b, онда P комплекс айнымалдың F(p) фун-сын Лаплас бойынша f(t) фун-ның кескінделуі немесе оның лапластық кескінделуі немесе жай кескіндеу деп аталады.

Берілген f(t) түпнұсқа бойынша F(p) кескіндеуді алу (16,2) ережесі Лаплас түрлендіруі деп аталады.

Егер Re p=a≥s>s₀ болса және (16,1) шарты орындалатын болса, онда өзіндік емес интеграл (16,2) абсолют жинақты және a>s₀ жарты жазықтығы аналитикалық фун-ны анықтайтын дәлелдеуге болады.

(16,3)

Егер F(p)-f(t) лаплас кескіндеу болса, онда бұл қысқаша түрде F(p)÷ f(t) немесе F(p)=L{f(t)} түрде жазылады.

(16,3) шартты қанағаттандыратын кез келген F(p) кескіндеуге жаңғыз бастапқы фун-я сәйкес калетін дәлелдеуге болады. Қабылданған белгілеу : f(t)÷F(p) немесе f(t)=L^-1 {F(p)}

Түпнұсқалар мен кескіндеулердің негізгі қасиеттерін санамалап айтып шығамыз.

1. (Сызықтық қасиет). Егер F_k(p)÷f_k(t), k=1,2,….,n болса онда

2. (ығысу теориясы). Егер F(p)÷f(t) болса, онда кез келген а комплекс сан үшін мынаны аламыз:

3. (Ұқсастық теориясы). Егер f(t) ÷F(p) және λ>0 болса, онда

f(λt)÷1/λF(p/λ)

4. (кешігу теориясы). Егер f(t) ÷F(p) болса, онда t₀>0 үшін

f(t-t₀)÷e^-pt₀ F(p).

4. Оқиғалар классификациясы. Ықтималдық. Тәуелді және тәуелсіз, үйлесімді және үйлесімсіз оқиғалар. Оқиғалар қосындысы және көбейтіндісі. (асия)

Жалпы «ықтималдық» ұғымына бірнеше түсінік беріледі. Соның бірі – ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдық Р(А) арқылы белгіленеді. Ықтималдық теориясы бірнеше көп біртектес кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын қарастырады. Оқиғалар A,B,C,D... әріптерімен белгіленеді. х, у, z, t... деп айнымалылар белгіленеді.

Сынау жүргізілгенде А оқығаның пайда болу болмауы да мүмкін болады, онда оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Нәтижесінде А оқиғасы пайда болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға д.а. Сынау нәтижесінде А оқиғасы пайда болса, онда оқиға мүмкін емес оқиға д.а.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болған кезде, екінші пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар д.а.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиға д.а.

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз д.а.

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертетін болса, ондай оқиғаны тәуелді оқиға д.а.

Екі келіспейтін оқиғалардың бірінің пайда болу оқиғалары, олардың ықтималдықтарының қосындысына тең.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Р(А₁+А₂+...+А_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Екі тәуелсіз А және В оқиғаның сынақта бірдей пайда болу ықтималдығы, олардың көбейту ықтималдығына тең.

Р(А)*Р(В)=P(A*B)

P(A₁*A₂*…A_n)=P(A₁)*P(A₂)*…*P(A_n)