Вариант № 53374

1. B 13 . Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 24. Най­ди­те его объем.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной равна . Объем куба равен

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

2. B 13 . В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  — се­ре­ди­на ребра ,  — вер­ши­на. Из­вест­но, что , а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна . Най­ди­те длину от­рез­ка .

По­яс­не­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му: . Тогда .

Ответ: 2

3. B 13 . Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

По­яс­не­ние.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 1, 3, 2 и 1, 2, 5:

 

.

Ответ: 16.

Ответ: 16

4. B 13 . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые). По­яс­не­ние.

Пер­вый ма­стер вы­пол­ня­ет 1/12 ра­бо­ты в час, а вто­рой — 1/6 ра­бо­ты в час. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая вме­сте, ма­сте­ра вы­пол­ня­ют ра­бо­ты в час. По­это­му всю ра­бо­ту ма­сте­ра вы­пол­нят за 4 часа.

 

Дру­гое рас­суж­де­ние.

Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. По­это­му два ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте, вы­пол­нят заказ за

 

часа.

Ответ: 4.

Ответ: 4

5. B 13 . Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3,5. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24,5. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

По­яс­не­ние.

Обо­зна­чим — ко­ли­че­ство лит­ров воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 200 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 10 минут доль­ше, чем вто­рая труба, от­сю­да имеем:

 

Таким об­ра­зом, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 10.

Ответ: 10

6. B 13 . В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер , , . Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми и .

По­яс­не­ние.

От­рез­ки DC и D₁C₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁C₁ и DC равен углу между пря­мы­ми A₁C₁ и D₁C₁.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка A₁C₁D₁ по по­лу­ча­ем:

 

 

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

 

 

 

Ответ:0,6.

Ответ: 0,6

7. B 13 . Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

 

 

По­яс­не­ние.

Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты — , а кон­цен­тра­ция вто­ро­го — . Если сме­шать эти рас­тво­ры кис­ло­ты, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 34% кис­ло­ты: . Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 46% кис­ло­ты: . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний.

 

 

Таким об­ра­зом, в пер­вом со­су­де со­дер­жит­ся кг кис­ло­ты.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

8. B 13 . Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

По­яс­не­ние.

Объем пи­ра­ми­ды равен

 

.

Ответ: 2.

 

При­ме­ча­ние.

Куб со­сто­ит из 6 таких пи­ра­мид, объем каж­дой из них равен 2.

Ответ: 2

9. B 13 . Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, A₁, B₁, C₁ пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 8, а бо­ко­вое ребро равно 3.

По­яс­не­ние.

Тре­бу­ет­ся найти объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной приз­мы. По­это­му

 

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

10. B 13 . Вы­со­та ко­ну­са равна 12, а диа­метр ос­но­ва­ния – 10. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.