Вариант № 55855

1. B 15  Дуга окруж­но­сти AC, не со­дер­жа­щая точки B, со­став­ля­ет . А дуга окруж­но­сти BC, не со­дер­жа­щая точки A, со­став­ля­ет . Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

 

 

Ответ: 58.

Ответ: 58

2. B 15 

В тре­уль­ни­ке ABC угол C равен 90°, . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

Имеем:

 

Ответ: 0,28.

Ответ: 0,28

3. B 15 

Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

 

см².

Ответ: 8.

Ответ: 8

4. B 15  Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке .Най­ди­те длину раз­но­сти век­то­ров  и .

По­яс­не­ние.

Раз­ность век­то­ров и равна век­то­ру . Длина век­то­ра .

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

5. B 15. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, угол равен , . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

 

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

6. B 15 . Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 6. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 5. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

По­яс­не­ние.

вы­со­та тра­пе­ции и – вы­со­ты рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков и По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

Тогда

Ответ: 7.

Ответ: 7

7. B 15  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен 40°. Най­ди­те боль­ший из ост­рых углов этого тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол равен 40 , по­это­му угол равен 50 .

 

В тре­уголь­ник АСВ пря­мо­уголь­ный, – ме­ди­а­на, опу­щен­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла, сле­до­ва­тель­но, , и углы и равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

 

Тогда

 

.

Ответ: 65.

 

Ответ: 65

8. B 15 . Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Най­ди­те ги­по­те­ну­зу.

По­яс­не­ние.

по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

9. B 15 № 27318.

В тре­уголь­ни­ке , – вы­со­та, . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы и равны как углы при его ос­но­ва­нии.

 

.

 

Ответ: 0,28.

Ответ: 0,28

10. B 15 . Хорда стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в . Най­ди­те угол между этой хор­дой и ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, про­ве­ден­ной через точку . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Вариант № 55857

По­яс­не­ние.

угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой

 

Ответ: 46.

Ответ: 46

1. B 15. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна сумме пло­ща­дей двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и пло­ща­ди тра­пе­ции. По­это­му

 

.

Ответ: 5

2. B 15  В тре­уголь­ни­ке , вы­со­та равна 24, . Най­ди­те .

П о­яс­не­ние.

Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, вы­со­та делит ос­но­ва­ние по­по­лам.

 

.

Ответ: 0,28.

Ответ: 0,28

3. B 15  Най­ди­те (в см²) пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

По­яс­не­ние.

Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го и ма­ло­го кру­гов. Ра­ди­ус боль­шо­го круга равен 4 см, а ма­ло­го — , от­ку­да

 

.

По­это­му

.

 

Ответ: 11.

Ответ: 11

4. B 15

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не равен –0,5, . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

так как

Ответ: 8.

Ответ: 8

5. B 15. В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке , вы­со­та равна 24, . Най­ди­те .

По­яс­не­ние.

 

.

Ответ: –0,28.

Ответ: -0,28

6. B 15 . Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки .

По­яс­не­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

 

Ответ: 6.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем: Сле­до­ва­тель­но, ор­ди­на­та точки С равна 6.

Ответ: 6

7. B 15 № 27570. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

По­яс­не­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и че­ты­рех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. По­это­му

 

см².

Ответ: 20.

Ответ: 20

8. B 15 . На окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 взята точка С . От­ре­зок АВ — диа­метр окруж­но­сти, . Най­ди­те ВС.

По­яс­не­ние.

Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр — пря­мой, по­это­му тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный. Его ги­по­те­ну­за АВ равна 6, по­это­му:

Ответ: 4.

Ответ: 4

9. B 15 . В тре­уголь­ни­ке , . Най­ди­те вы­со­ту .

По­яс­не­ние.

Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы и равны как углы при его ос­но­ва­нии и вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки делит ос­но­ва­ние по­по­лам.

 

.

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

10. B 15 . Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Най­ди­те наи­боль­шую сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка.