3. Графоаналитический метод кинематического анализа

Графоаналитический метод называют методом планов скоростей и ускорений.

Задача о положениях решается графическим методом, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для множества точек механизма.

Недостатком метода является то, что методом планов скоростей и ускорений определяются кинематические параметры для каждого конкретного положения механизма.

Построение планов скоростей и ускорений проводится в порядке, определенном структурной формулой механизма: начиная с первичного механизма, затем последовательно рассматривая присоединенные к нему структурные группы.

Пример 6.2.

Даны кривошипно-ползунный механизм в определенном положении, длины звеньев которого – кривошипа и шатуна – L_OA и L_AB соответственно, и угловая скорость кривошипа ₁ = const.

Определить скорости и ускорения всех кинематических пар и центра тяжести шатуна.

Решение

Последовательность решения задачи:

1. Строится план механизма (рис. 6.2) в выбранном масштабе длин:

, м/мм,

где L_OA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2) переводятся масштабом длин m_L в отрезки:

AB = L_AB/m_L, мм,

AS₂ = L_AS2/m_L, мм,

2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.

V_В = V_А + V_ВА, (1)

где V_А = V_АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О; V_ВА – вектор скорости точки В относительно А; имеет направление, перпендикулярное прямой АВ на плане механизма; V_В – вектор полной (абсолютной), скорости ползуна 3; должен быть параллельным направлению движения ползуна.

Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторного уравнения (1) и в каком-либо масштабе.

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 6.2). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m_ по соотношению

, ,

где V_A – скорость точки А, м/с; P_Va – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V_A, выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых, численное значение масштаба _v должно быть удобным для расчётов (_v должно быть круглым числом).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответствующей написанию векторного уравнения (1).

Для построения плана скоростей сначала из полюса плана Р_v (рис. 6.2) проводится вектор скорости точки А относительно О – V_А, т.е. векторный отрезок Р_va. Затем через точку а проводится перпендикуляр к прямой АВ плана механизма и через полюс Р_v – прямая, параллельная движению ползуна 3. На пересечении этих двух прямых получается точка b. Направления векторов скоростей V_В и V_ВА обозначают стрелками.

Скорость точки S₂ определяют по теореме подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма.

Так, точка S₂, принадлежит шатуну 2 и расположена на середине отрезка АВ. Используя теорему подобия, на отрезке ab плана скоростей находят его середину (точка S₂), которая, будучи соединенной с полюсом Р_v, даст вектор V_S2, изображающий абсолютную (полную) скорость точки S₂.

Рис. 6.2. Построение планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма

Рассчитаем величину линейных скоростей и угловую скорость шатуна:

, м/с,

, м/с,

, м/с,

, с^-1.

Направление вектора угловой скорости шатуна ₂ определяется следующим образом. Вектор скорости V_ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А, в ту сторону и направлена угловая скорость ₂ шатуна.

3. Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. План ускорений кривошипно-ползунного механизма строят после того, как будет составлено векторное уравнение ускорений шатуна, учитывая, что он совершает сложное движение:

а_В = а_А + аⁿ_ВА + а^_ВА,

где а_А – ускорение точки А; его величину и направление можно определить, используя векторное уравнение ускорения точки А относительно оси О вращения кривошипа:

а_А = а_О + а_АО,

причём ускорение точки А относительно О можно разложить на две составляющие – нормальное ускорение аⁿ_АО и тангенциальное а^_АО, т.е.

а_АО = аⁿ_АО + а^_АО.

Так как точка О неподвижна и ускорение её равно нулю (а_О = 0 и а^_АО = 0 при условии, что угловая скорость вращения кривошипа постоянна: ₁ = const и его угловое ускорение ₁ = 0), то векторное уравнение ускорения точки А можно записать в виде

а_А = аⁿ_АО.

Величина нормальной составляющей ускорения (нормальное ускорение) рассчитывается по формуле

(его вектор направлен по радиусу вращения кривошипа от точки А к точке О).

Затем вычисляется нормальное ускорение точки В относительно А по формуле

(его вектор направлен от В к А).

После выбора масштаба плана ускорений по формуле

величина нормального ускорения aⁿ_BA переводится этим масштабом в векторный отрезок длиной

, мм.

Затем строится план ускорений (см. рис. 6.2). Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения aⁿ_AО, длина которого была выбрана произвольно при расчёте масштаба _а. Из конца этого вектора (точки ) проводится вектор ускорения aⁿ_BA длиной , который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую до пересечения с прямой, проведённой через полюс Р_а параллельно линии движения ползуна 3. Полученная точка их пересечения b' определяет длины векторов ускорений a_BA и a_B.

Для нахождения величины ускорения точки S₂, принадлежащей шатуну, можно применить теорему подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма. При этом необходимо на векторе, изображающем на плане ускорений относительное ускорение a_BA, найти соответствующую точку S₂', делящую отрезок a'b' в той же пропорции, что и точка S₂ делит отрезок АВ на плане механизма.

Угловое ускорение шатуна вычисляется по формуле

, с^-1,

где n₂b' – длина вектора на плане ускорений, изображающего тангенциальное ускорение а .

Для определения направления вектора углового ускорения шатуна ₂ необходимо вектор тангенциального ускорения а условно перенести в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А, в ту сторону и направлено ускорение ₂ шатуна.