Задача 3
В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(-20; 24); С(-5; 4); tgC=20/21.
Решение:
Изобразим графически положение ромба в прямоугольной системе координат Оху:
Запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
Так как в ромбе его диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен:
Определим координаты точки пересечения диагоналей ромба Е. Итак, Е – середина АС.
Запишем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через заданную точку Е в направлении, определяемом угловым коэффициентом.
Чтобы найти уравнения сторон ромба надо определить угловые коэффициенты kAB=kCD и kBС=kАD прямых на которых эти стороны лежат. Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то положив С=2φ из формулы
,
где tg2φ=20/21
найдём tgφ.
Итак, tgφ=-2,5 – не удовлетворяет условию задачи, что угол φ – острый, поэтому tgφ=0,4.
угол φ является углом между прямыми ВС и АС, то есть:
угол φ является углом между прямыми DС и АС, то есть:
Так как противоположные стороны ромба параллельны, то определим угловые коэффициенты всех его сторон:
уравнение АВ:
уравнение ВС:
уравнение СD:
уравнение АD:
Вершины ромба В и D являются точками пересечения его соответствующих сторон АВ и ВС; СD и АD. Решим системы уравнений этих сторон.
В(-16,5;
11)
D(-8,5;
17)
Площадь ромба вычислим по формуле S=0,5d1d2, где d1=АС и d2=ВD – диагонали ромба.
Ответ: АС: 4х+3у+8=0; BD: 6х-8у+187=0; АB: 26х+7у+352=0; ВС: 14х+23у-22=0;
СD: 26х+7у+102=0; AD: 14х+23у-272=0; B(-16,5; 11); D(-8,5; 17); S=125 кв. ед.
Домашнее задание
Задача 1
Пусть точка А(-7; 3) - вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой 2х+у+6=0. Найдите:
координаты вершин B, C и D;
уравнения сторон AB, BC, CD и DA.
Сделайте чертеж.
Ответ: А(-7; 3); B(-4; 2); С(-3; 5); D(-6;6) Е(-5; 4);
AB: х+3у-2=0; BС: 3х-у+14=0; СD: х+3у-12=0; AD: 3х-у+24=0.
Задача 2
В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(5; 6); С(21; 18); tgC=4/3.
Ответ: АС: 3х-4у+9=0; BD: 4х+3у-87=0; АB: 2х-у-4=0; ВС: 2х-11у+156=0;
СD: 2х-у-24=0; AD: 2х-11у+56=0; B(10; 16); D(16; 8); S=100 кв. ед.
Задача 3
Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать уравнения окружностей вписанной и описанной около данного треугольника. А(11; 5); В(5; -3); С(-4; -3).