7.2. Закон Кирхгофа

Излучательная и поглощательная способности тела. Тепловое излучение имеет место при любой температуре. Однако с изменением температуры, изменяется интенсивность и спектральный состав излучения. Например, тела, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться. Они испускают белый свет, т.е. излучают в видимой области электромагнитного спектра. По мере понижения температуры уменьшается интенсивность излучения и в нем все сильнее обнаруживается преобладание длинных волн (красных и инфракрасных). При дальнейшем охлаждении тела излучение им в видимой области спектра вообще прекращается, и тело испускает лишь невидимые глазом инфракрасные лучи.

Спектральной характеристикой теплового излучения является излучательная (лучеиспускательная) способность тела (или спектральная плотность энергетической светимости)

, (7.1)

где – элементарная энергия, испускаемая за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот от до . Величина измеряется в Вт/м², а величина в Дж/м² (чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от частоты и температуры, мы снабдили их индексами и ). Таким образом, излучательная способность численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности этого тела в интервале частот единичной ширины.

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку спектра будет соответствовать интервал длин волн . Определяющие один и тот же участок величины и связаны простым соотношением, вытекающим из формулы . Дифференцирование дает

. (7.2)

Знак минус в этом выражении не имеет существенного значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной из величин, или , другая величина убывает. Поэтому минус в дальнейшем мы не будем писать.

Спектральная плотность энергетической светимости в интервале длин единичной ширины, может быть по аналогии с (7.1) представлена в виде

. (7.3)

Если интервалы и , входящие в выражения (7.1) и (7.3), связаны соотношением (7.2), т.е. относятся к одному и тому же участку спектра, то величины и должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве согласно (017.2), получим

,

откуда

. (7.4)

С помощью формулы (7.4) можно перейти от к и наоборот.

Наряду с излучением тела способны поглощать падающие на них электромагнитные волны. Спектральной характеристикой поглощения является поглощательная способность тела

. (7.5)

Поглощательная способность тела показывает, какая доля энергии , доставляемой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотой от до , поглощается телом. Очевидно, что величина является безразмерной. Величины и зависят помимо частоты и температуры от: химического состава тела, формы тела, состояния поверхности тела.

Абсолютно черное тело. Абсолютно черным называется тело, если оно при любой температуре (независимо от частоты) полностью поглощает всю падающую на нее энергию. Следовательно поглощательная способность абсолютно черного тела (АЧТ) . В свою очередь излучательная способность АЧТ зависит от частоты и температуры тела .

Все реальные тела не являются абсолютно черными. Однако некоторые из них в определенных интервалах частот близки по своим свойствам к АЧТ. Например, в области видимого света поглощательные способности сажи, платиновой черни и черного бархата мало отличаются от единицы.

Наиболее совершенной моделью АЧТ может служить небольшое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой полости: луч света, попадающий внутрь полости через отверстие О, претерпевает многократные отражения от стенок полости, прежде чем он выйдет обратно (см. рис. 7.2). При каждом отражении происходит частичное поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала стенок интенсивность луча света, выходящего из полости через отверстие О, во много раз меньше интенсивности падающего извне первичного луча. Очевидно, что отверстие тем ближе по своим свойствам к АЧТ, чем больше отношение площади поверхности полости к площади отверстия.

Рисунок 7.2. Модель абсолютно черного тела

Рассмотренная модель АЧТ позволяет легко понять, почему узкий вход в пещеру или открытые окна домов снаружи кажутся зияюще черными, хотя внутри пещеры или комнат дома достаточно светло из-за отражения дневного света от стен.

Испуская электромагнитные волны, а также частично поглощая падающие на них волны, тела способны обмениваться энергией. Этот процесс называют лучистым теплообменом или теплообменом излучением. Очевидно, что лучистый теплообмен в отличие от теплообмена путем конвекции и теплопроводности, может осуществляться между телами, находящимися не только в какой-либо среде, но также в вакууме.

Тепловое излучение называется стационарным, если температура излучающего тела остается неизменной за счет непрерывного его нагревания. Равновесное излучение в замкнутой полости называют черным излучением (см. рис. 7.2).

Связь между излучательной и поглощательной способностями тела. Найдем связь между испускательной и поглощательной способностью любого непрозрачного тела. Для этого рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую из двух бесконечно длинных пластин и , которые могут обмениваться энергией в форме теплоты только друг с другом, так как их внешние поверхности покрыты идеальной тепловой изоляцией (см. рис. 7.3). Пусть внутренняя поверхность пластины абсолютно черная, а лучеиспускательная и поглощательная способности внутренней поверхности пластины равны и . Если в рассматриваемой системе установилось термодинамическое равновесие, то температуры обеих пластин одинаковы и равны , а излучение пластины - равновесное.

Рисунок 7.3. Равновесное излучение

В этом случае: отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от материала тела и равно испускательной способности абсолютно черного тела, являющейся функцией только частоты и температуры:

, (7.6)

так как . Этот закон носит название закона Кирхгофа (1895 г.). Отсюда следует, что тело, которое при данной температуре не поглощает излучение в каком-либо интервале частот ( ), не может при температуре и испускать в этом интервале частот ( ).

В теории теплового излучения наряду с понятием абсолютно черного тела часто пользуются другой идеализированной моделью реальных тел - серым телом. Тело называется серым, если его поглощательная способность меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности:

. (7.7)

Во многих случаях необходимо знать полную мощность теплового излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале частот от до . Эта величина называемая энергетической светимостью (или интегральной испускательной способностью)

(7.8)

или на основании закона Кирхгофа ( )

. (7.9)

Для серого тела ( )

, (7.10)

где

(7.11)

есть интегральная испускательная способность абсолютно черного тела, зависящая от температуры .

Для абсолютно черного тела , поэтому

. (7.12)

Для теории и практики важно знать зависимость интегральной испускательной способности (энергетической светимости) абсолютно черного тела и испускательной способности абсолютно черного тела от частоты (длины волны ) и температуры . Такие зависимости были установлены и получили название законов теплового излучения абсолютно черного тела.