1.3. Понятие о нормальных колебаниях решётки

Атомы твёрдых тел совершают тепловые колебания около положений равновесия. Вследствие взаимного влияния их друг на друга, характер колебаний является крайне сложным и точное описанием его представляет огромные трудности.

Поэтому прибегают к приближенным методам и различного рода упрощениям в решении этой задачи.

Прежде всего используется тот факт, что смещения частиц от положения равновесия при тепловых колебаниях (s) являются малыми по сравнению с параметром (постоянной) решётки d (s обычно не превышает нескольких процентов от d)

Это позволяет силы взаимодействия между частицами F считать в первом приближении пропорциональными смещениями s:

, (2)

где ƒ ― упругая постоянная. Такое приближение считается гармоническим, так как под воздействием упругой силы тела совершают гармонические колебания.

Пользуясь гармоническим приближением, можно составить уравнения движения колеблющихся частиц. Эти уравнения будут иметь следующий вид:

, (3)

где М ― масса частицы; – ускорение её движения; – результирующая сила, действующая сила на данную частицу со стороны всех остальных частиц кристалла.

Таких уравнений будет 3N в соответствии с 3N степенями свободы, которыми обладают частицы кристалла. Чтобы определить смещение любой из них, необходимо решить эту систему взаимно зацепляющихся уравнений, что для реального кристалла, состоящего из огромного числа атомов, является практически безнадёжной задачей. Поэтому прибегают к следующему упрощению.

Вместо того, чтобы описывать индивидуальные колебания частиц, рассматривают их коллективное движение в кристалле, как в пространстве упорядоченной системы.

Такое упрощение основывается на том, что в следствие действия мощных сил связи колебание, возникшие у данной частицы, немедленно передаётся соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающее все частицы кристалла. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решётки.

Число подобных колебаний, которое может возникнуть в решётке, равно числу степеней свободы (3N ). В каждом из них на равных основаниях участвуют все атомы кристалла; с другой стороны, каждый атом участвует одновременно во всех 3N нормальных колебаниях решётки.

Рассмотрим простейшую модель кристалла ― линейную цепочку, состоящую из одинаковых атомов, как показано на рис. 5, а.

На рис. 5, б показано несколько нормальных колебаний, которые могут возникнуть в такой цепочке из атомов, способных колебаться в направлении, перпендикулярном к длине цепочки. Такую цепочку можно рассматривать как струну.

Рисунок 5. Нормальные колебания цепочки из одинаковых атомов

а ― линейная цепочка из одинаковых атомов; б ― нормальные колебания цепочки; в ― нормальные колебания цепочки, отвечающие самой короткой длине волны (наибольшей частоте);

Если концы цепочки закреплены, то основное колебание её, отвечающее самой низкой частоте , соответствует возникновению стоячей волны с узлами на концах (кривая 1). Следующему колебанию соответствует стоячая волна с узлами не только на концах, но и на середине цепочки (кривая 2). Третьему колебанию, или, как говорят третьему обертону соответствует стоячая волна с двумя узлами, делящей цепочку на три равные части(кривая 3) и т.д.

Очевидно, что самая короткая длина волны, которая может возникнуть в такой цепочке, будет равна удвоенному расстоянию между атомами цепочки (рис. в):

. (4)

Ей отвечает максимальная частота ω_max, связанная с λ_min соотношением

, (5)

где с ― скорость распространения волны (звука) в цепочке.

Минимальная частота колебаний цепочки равна:

, (6)

где L ― длина цепочки.

Из формул для частот следует, и то не является константой материала и зависит от размера цепочки (тела); что же касается ω_max, то она является константой, определимая механическим расстоянием и скоростью распространения нормальных колебаний.

Если принять d = 3,6·10^-10 м (постоянная решетка меди), и с = 3550 м/с (скорость звука в меди), то получим = 3·10¹³ c^-1. Это соответствует частоте колебаний атомов в твердом теле.

Для характеристики волновых процессов удобно пользоваться волновым вектором , по направлению совпадающим с направлением распространения колебаний и по величине равным .

Фазовая скорость определяется выражением , откуда

. (7)

На рис. 6 показана зависимость частоты нормальных колебаний ω, возникающих в линейной цепочке однородных атомов (рис. 5), от волнового вектора . При возрастании k от 0 до частота нормальных колебаний увеличивается и при , т.е. при достигает максимальной величины, равной . Подобного рода кривые, выражающие зависимость частоты колебаний от волнового вектора (от длины волны), называются дисперсионными кривыми.

Рисунок 6. Дисперсионная кривая, выражающая зависимость

частоты нормальных колебаний цепочки от волнового вектора