Введение

В практикуме содержатся сведения, необходимые для выполнения практического занятия. Каждое теоретическое утверждение иллюстрируется одним или несколькими примерами, что должно позволить студенту самостоятельно решить соответствующие задачи практического занятия.

Практикум позволяет совершенствовать методы обучения и организации учебного процесса, создает возможность организации разнообразных видов самостоятельной деятельности студентов, направленной на творческое развитие, на формирование математической культуры.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

У1 - вычислять вероятность событий с применением элементов комбинаторики;

У2 - использовать методы математической статистики

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

З1 - основы теории вероятностей и математической статистики;

З2 - основные понятия теории графов.

В практикум включены практические задания по разделам:

• Элементы комбинаторики;

• Основы теории вероятностей;

• Дискретные случайные величины;

• Непрерывные случайные величины;

• Центральная предельная теорема. Закон больших чисел. Вероятность и частота;

• Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения;

• Моделирование случайных величин. Метод статистических испытаний;

• Элементы теории графов.

Практические занятия включают краткое описание теоретического материала, порядок выполнения работы, блок контрольных вопросов, задания. Задания систематизированы и дифференцированы по уровню сложности. Наличие заданий нескольких уровней позволяет индивидуализировать выполнение практического занятия.

Правила выполнения практических занятий

Студент должен строго выполнять весь объем домашней подготовки, указанный в описаниях соответствующих практических занятий.

Каждое практическое занятие начинается с целей и постановки задачи, а заканчивается списком вопросов отчета, который должен быть предъявлен преподавателю по окончании выполнения практических заданий.

Все практические занятия взаимосвязаны. Каждое следующее занятие опирается на предыдущее, на ранее приобретенные знания и умения.

Все практические занятия требуют серьезной и объемной по времени домашней подготовки. Подготовка включает изучение теоретического материала, ответы на контрольные вопросы, разбор решения типовых примеров и задач.

Студент предоставляет преподавателю отчет о проделанной работе с обсуждением полученных результатов после выполнения работы

Окончательная оценка за выполненные практические задания учитывает: объём выполненной работы, уровень сложности выполненных заданий, владение теоретическим материалом при защите выполненной работы.

Практические занятия Практическое занятие № 1

Тема: Решение задач на расчет количества выборок.

Цель занятия: решение задач на расчет выборок, с применением элементов и формул комбинаторики, развитие самостоятельной мыслительной деятельности, вычислительных навыков, творческого мышления студентов.

Студент должен знать: основные комбинаторные объекты (типы выборок); формулы и правила количества выборок (для каждого из типов выборок) уметь: определять тип комбинаторного объекта (тип выборки); рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

Пояснения к работе

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.

Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение: .

Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: Æ.

Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или АÈВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+Æ=А, А+ = , А+А=А.

Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или АÇВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.

Очевидные соотношения: АÆ=Æ, А =А, АА=А.

Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=Æ.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.

Событие назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+ = , А =Æ, =А.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.

Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: = \А, А\В=А .

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А , В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

С= А + В+АВ.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде С= .

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем = .

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Свойства сочетаний:

ЗАДАНИЕ Вычислить вероятность событий в нижеследующих задачах:

1. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них 1 сорта, 120-2 сорта, а остальные - 3 сорта. Определить вероятность, что взятая наугад деталь будет 1 сорта.

2. В условиях задачи 1 определить вероятность того, что взятая деталь будет 2 сорта.

3. В условиях задачи 1 определить вероятность того, что взятая деталь будет 3 сорта.

4. В условиях задачи 1 определить вероятность того, что взятая деталь окажется 1-го или 2-го сорта. В условиях задачи 1 определить вероятность того, что взятая деталь окажется 2-го или 3-го сорта.

5. В условиях задачи 0 определить вероятность того, что взятая деталь окажется 1-го или 3-го сорта.

6. Среди 20 экзаменационных билетов 5 содержат легкие вопросы. Определить вероятность того, что первому экзаменующемуся достанется легкий билет.

7. В условиях задачи 5 определить вероятность того, что легкий билет не достанется.

8. Предприниматель получил партию товара в 100 упаковках. Известно, что 4 упаковки содержат бракованный товар. Определить вероятность того, что взятая наугад упаковка содержит брак.

9. В условиях задачи 7 определить вероятность того, что взятая упаковка не содержит брак.

10. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой?

11. Сколько словарей нужно издать, чтобы переводить с любого из 5 языков на любой другой?

12. Есть пятиразрядный цифровой замок, каждый диск которого содержит цифры от0 до 5. Сколько комбинаций таких цифр?

13. Сколькими способами можно упорядочить множество цифр от 1 до 2n так, чтобы все четные числа стояли на четных местах.

14. Сколькими способами можно упорядочить множество цифр от 1 до n так, чтобы числа 1,2,3 стояли рядом и в порядке возрастания.

15. Какое количество различных символов можно передать не более чем 5 знаками «.» и «-».

16. Автомобильные номера состоят из 3 букв и 4 цифр. Найти количество возможных номеров, если используются 32 букв русского алфавита.

17. Сколько машинных слов можно составить из букв слова КОЛОКОЛ, слова ВОДОРОД.

18. Сколькими способами 9 одинаковых конфет можно разложить по 5 пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым. Тот же вопрос, но пакеты могут быть пустыми.