1. Чтение теоретического материала

I. Изучая теоретический материал, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые из-за их простоты опущены в теоретическом материале).

2. Особое внимание следует обратить на определение основных понятий. Студент должен подробно разобрать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь привести аналогичные примеры самостоятельно.

3. При изучении материала полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные для консультации с преподавателем.

4. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

Образцы контрольных вопросов: дать определение следующих понятий.

1. Случайное событие.

2. Операции над событиями (объединение, пересечение, дополнение). Формулы де

3. Моргана (двойственности).

4. Алгебра событий.

5. Сигма-алгебра событий.

6. Борелевская алгебра подмножеств действительной прямой.

7. Аксиомы вероятностного пространства.

8. Аддитивность вероятности.

9. Счетная (сигма-) аддитивность вероятности.

10. Верхний, нижний пределы последовательности событий. Предел последовательности событий.

11. Условная вероятность как вероятностное пространство.

12. Независимость событий

13. Последовательность независимых испытаний как вероятностное пространство.

14. Случайная величина.

15. Функция распределения случайной величины.

16. Плотность распределения случайной величины, распределенной абсолютно

17. непрерывно.

18. Случайный вектор (n-мерная случайная величина).

19. Функция условного распределения случайной величины.

20. Независимость случайных величин: попарная и в совокупности.

21. Математическое ожидание случайной величины.

22. Дисперсия случайной величины.

23. Коэффициент ковариации (ковариация) случайных величин.

24. Коэффициент корреляции (корреляция) случайных величин

25. Характеристическая функция случайной величины.

26. Сходимость последовательности случайных величин

27. по вероятности, по распределению, в среднем квадратичном.

28. Биномиальное распределение (распределение Бернулли) .

29. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).

30. Распределение Пуассона.

31. Равномерное распределение на отрезке [a,b].

32. Нормальное распределение.

33. Случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат (Пирсона) с n степенями свободы (без формулы плотности распределения).

34. Случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с n степенями свободы (без формулы плотности распределения).

35. Однородная цепь Маркова с конечным числом состояний как последовательность случайных величин.

36. Матрица перехода цепи Маркова за один шаг и за n шагов.

37. Несмещённость точечной оценки

38. Состоятельность точечной оценки.

39. Случайный процесс.

40. Многомерные функции распределения случайного процесса.

41. Ковариационная функция случайного процесса.

Теория вероятностей

1. Понятие вероятности. Предмет теории вероятностей. Классическое и геометрическое определения вероятности. События, операции над ними. Общее определение вероятности.

2. Элементы комбинаторики. Формулы для числа выборок с учетом порядка. Число сочетаний. Тезис о равновероятности выборок. Гипергеометрическое распределение.

3. Свойства вероятности: дополнения, включения, объединения.

4. Условная вероятность. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

5. Независимые события. Независимость пары событий. Независимость нескольких событий.

6. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Свойство времени ожидания.

7. Теорема Пуассона. Биномиальное приближение в схеме Бернулли.

8. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Вырожденное, бернуллиевское, биномиальное, пуассоновское распределение. Формула подсчета вероятностей.

9. Абсолютно непрерывные распределения. Плотность распределения. Нормальное, равномерное, показательное распределение.

10. Функция распределения. Вероятности попадания в интервал и в точку. Свойства функции распределения и ее график. Понятие о распределении смешанного типа.

11. Случайные векторы. Многомерные функции распределения. Дискретный и абсолютно непрерывный случай. Примеры двумерных абсолютно непрерывных распределений: равномерное в области, нормальное.

12. Независимые случайные величины, их свойства. Критерий независимости дискретных случайных величин. Критерий независимости в общем и абсолютно непрерывном случаях. Функции от независимых дискретных случайных величин. Формула свертки в дискретном и абсолютно непрерывном случаях.

13. Математическое ожидание, его свойства, формулы для его подсчета. Примеры.

14. Моменты, теорема о существовании моментов. Дисперсия и ее свойства. Свойство вырожденного распределения. Примеры вычисления дисперсии.

15. Ковариация и коэффициент корреляции, их свойства. Некоррелированность.

16. Закон больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева. Сходимость по вероятности, ее свойства. Закон больших чисел Чебышева и его следствия. Законы больших чисел Хинчина и Колмогорова.

17. Центральная предельная теорема. Сходимость по распределению. Теорема Муавра - Лапласа. Оценка скорости сходимости.

Математическая статистика.

1. Предмет и задачи математической статистики. Статистическая устойчивость и статистическая независимость.

2. Понятие выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Выборочные моменты и их свойства.

3. Моделирование распределений. Квантильное преобразование. Дискретный и абсолютно непрерывный случаи. Примеры.

4. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность. Метод моментов, примеры. Теорема о состоятельности оценок методом моментов.

5. Асимптотическая нормальность. Теорема об асимптотической нормальности оценок методом моментов.

6. Функция правдоподобия. Метод максимального правдоподобия, примеры.

7. Сравнение оценок: среднеквадратический и асимптотический подходы. Теорема об отсутствии наилучшей оценки в классе всех оценок.

8. Эффективные оценки. Условия регулярности. Неравенство Рао-Крамера.

9. Статистика выборок из нормального распределения. Распределения, связанные с нормальным (хи-квадрат, Стьюдента). Лемма Фишера. Свойства выборок из нормальной совокупности. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.

10. Построение доверительных интервалов с помощью асимптотически нормальных оценок. Примеры.

11. Проверка гипотез, основные понятия. Критерии согласия Колмогорова, хи-квадрат. Построение критерия с помощью доверительного интервала.

12. Критерий проверки однородности двух выборок.

13. Задачи линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Вероятностные свойства оценок в случае нормальной регрессии.

14. Критерий проверки независимости компонент двумерной выборки. Критерий проверки независимости случайной последовательности.

15. Элементы теории планирования эксперимента.