Ч ЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

Підготовчий курс з математики

Тема 11. Основні поняття планіметрії. Трикутники

	довідковий матеріал

11.1. Основні поняття планіметрії

11.1.1. Математична термінологія

Геометрія – це наука про властивості геометричних фігур. Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості фігур на площині, називається планіметрією. Приклади геометричних фігур на площині: трикутник, квадрат, коло.

Математичні твердження бувають трьох видів: означення, аксіоми і теореми.

Означення – це твердження, у якому роз'яснюється зміст деякого поняття (наприклад, означення променя, відрізка, кута).

Аксіома – це твердження, яке приймають без доведення.

Теорема – це твердження, яке треба довести.

Лема – це допоміжна теорема.

Доведення – це міркування, під час якого строго встановлюється істинність або хибність висловленого твердження.

Побудова курсу геометрії має таку логічну структуру:

1) даються основні поняття: точка, пряма, площина, міра, належність тощо. Ці поняття не означаються;

2) на основі введених понять даються означення усім іншим геометричним поняттям;

3) формулюються аксіоми;

4) на основі аксіом та означень доводяться теореми, які, у свою чергу, використовуються для доведення інших теорем курсу геометрії.

11.1.2. Початкові поняття

Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Це початкові поняття геометрії, яким означення не даються, які сприймаються інтуїтивно. Точка не має розмірів. Пряма нескінченна і не має товщини. Пряма є частинним випадком площини, а площина – частинним випадком поверхні.

Точки прийнято позначати великими латинськими буквами А, В, С, ... . Прямі позначають малими латинськими буквами a, b, с, ... . Площини позначають малими грецькими буквами

На рис. 11. 1 зображена точка А і пряма а, розташовані на площині а. Запис означає, що пряма а проходить через точку А; запис означає, що пряма а належить площині .

Рис.11.1	Рис. 11.2	Рис. 11.3

Променем, або півпрямою, називається частина прямої, обмежена з одного боку точкою. Ця точка називається початком променя (мал. 11.). Різні півпрямі однієї прямої із спільною початковою точкою називаються доповняльними.

Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між даними її точками (рис. 11.3). Ці точки називаються кінцями відрізка і належать йому. Відрізок позначають, записуючи його кінці. Наприклад, АВ – відрізок прямої МК. Вимірювання відрізків визначає така аксіома: кожен відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. Два відрізка називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові довжини.

Рис. 11.4	Рис. 11.5

Кутом називається фігура, що складається з двох різних півпрямих зі спільною початковою точкою. Ця точка називається вершиною кута, а півпрямі – сторонами кута. Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими однієї прямої, то кут називається розгорнутим. Кут можна позначити трьома способами: , , (рис. 11.4). При третьому способі позначення кута, буква, що позначає вершину, ставиться всередині.

Плоским кутом називається частина площини, обмежена двома різними променями, що виходять з однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута. Існує два плоских кута з даними сторонами. Вони називаються доповняльними (рис. 11. 5).

Вимірювання кутів визначає така аксіома: кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Градус – це частина розгорнутого- кута. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. Два кути називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові градусні міри.

Бісектрисою кута називають промінь, що виходить з його вершини і ділить цей кут навпіл. З означення випливає, що бісектриса кута проходить між його сторонами.