Критерии устойчивости сау.
Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.
В 1877г. Раус установил:
Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости САУ есть положительность коэффициентов характеристического уравнения системы. |
1. Критерий устойчивости Гурвица
Критерий разработан в 1895г.
Пусть определено характеристическое
уравнение замкнутой системы:
уравнение приводим к виду, чтобы a0>0.
Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:
по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.
Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:
Формулировка критерия.
|
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения a0 главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.
|
Системы
первого и второго порядка устойчивости,
если все коэффициенты характеристического
уравнения больше нуля.
Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:
Для систем третьего порядка:
Для систем четвертого порядка:
Для систем пятого порядка:
Для систем шестого порядка:
Пример. Дано характеристическое
уравнение
исследовать устойчивость системы по
Гурвицу.
Для устойчивых систем необходимо
и
2. Критерий Рауса
Критерий опубликован в 1877г.
Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высокого порядка.
Формулировка критерия:
Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак. |
Таблица Рауса.
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
Алгоритм заполнения таблицы: в первой
и второй строках записываются коэффициенты
уравнения с четными и нечетными индексами;
элементы остальных строк вычисляются
по следующему правилу:
Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.